Loi d'Ohm : la tension et l'intensité enfin reliées

On sait mesurer une intensité et une tension, et l'on sait comment elles se répartissent dans un circuit en série ou en dérivation. Il manque encore l'essentiel : le lien entre les deux. Pourquoi telle tension produit-elle telle intensité, et pas une autre ? La réponse, pour une famille précise de dipôles, s'appelle la loi d'Ohm.

Un conducteur ohmique est un dipôle dont la tension est proportionnelle à l’intensité, dans un domaine de fonctionnement où les conditions physiques, notamment la température, restent suffisamment stables :

• $U$ : tension aux bornes du conducteur ohmique, en volts (V) ;
• $I$ : intensité du courant qui le traverse, en ampères (A) ;
• $R$ : résistance du conducteur ohmique, en ohms ($\Omega$).

La relation se retourne dans les deux sens :

Le mécanisme. Un conducteur ohmique freine le passage du courant. Sous une tension donnée, plus sa résistance est grande, plus l'intensité qui le traverse est petite : $I = U/R$, une division. Le mot « résistance » désigne d'ailleurs les deux choses, et c'est une source de confusion : le composant (l'objet qu'on branche) et la grandeur $R$ (le nombre en ohms qui le caractérise). Il suffit de dire « un conducteur ohmique de résistance 47 ohms » et tout devient clair.

Une nouvelle unité : l'ohm. Son symbole est la lettre grecque $\Omega$ (oméga). La relation $R = U/I$ donne aussi sa signification : un ohm, c'est un volt par ampère. Un conducteur ohmique de 1 $\Omega$ laisse passer 1 A dès qu'on lui applique 1 V — c'est très peu résistant. Les composants de travaux pratiques valent plutôt quelques dizaines à quelques milliers d'ohms.

Attention, la loi ne vaut pas pour tout. $U = R \times I$ décrit les conducteurs ohmiques, et eux seuls. Une lampe à filament, un moteur ou une diode ne sont pas, en général, décrits par une résistance constante sur toute leur caractéristique. Calculer $U/I$ à un point de fonctionnement reste possible si $I$ est non nul, mais ce quotient peut varier avec le point choisi. C'est le point sur lequel se joue la moitié des erreurs du chapitre.

Comment reconnaître l'ordre des lettres. Le triangle $U$ au sommet, $R$ et $I$ en dessous, aide certains élèves — mais il y a mieux, un contrôle qui ne s'oublie pas : les unités. Des ohms multipliés par des ampères donnent des volts, car un ohm est un volt par ampère. Avec $U = R/I$, on obtient des volts par ampère au carré, ce qui ne correspond à rien. Le contrôle des unités tranche à chaque fois.

Trois écritures, une seule relation : $U = R \times I$, $I = U/R$, $R = U/I$. Il suffit d'en connaître une et de savoir isoler l'inconnue.

La caractéristique d'un dipôle. On appelle caractéristique d'un dipôle le graphique de la tension $U$ à ses bornes en fonction de l'intensité $I$ qui le traverse. On la trace en relevant plusieurs couples de mesures.

• Pour un conducteur ohmique, on obtient une droite qui passe par l'origine : c'est la signature d'une situation de proportionnalité. Son coefficient directeur est exactement la résistance $R$.
• Pour une lampe, on obtient une courbe qui se redresse : plus le courant est fort, plus le filament chauffe, et plus il freine le courant. Le quotient $U/I$ augmente au lieu de rester constant.
• Pour une diode électroluminescente (DEL), la courbe est encore plus éloignée d'une droite : sous une tension faible, le courant reste quasi nul ; au-delà d'un seuil, il croît brutalement.

D'où une méthode de reconnaissance qui vaut pour n'importe quel tableau de mesures : calculer les quotients $U/I$ pour les intensités non nulles. S’ils sont constants aux incertitudes de mesure près, les résultats sont compatibles avec un modèle ohmique sur le domaine mesuré, et ce quotient en donne la résistance. S'ils varient nettement, il ne l'est pas, et la loi d'Ohm ne s'applique pas.

À quoi sert une résistance dans un montage ? À limiter le courant. Une DEL branchée seule sur une source de 9 V risque un fort courant et des dommages, selon la source et le composant : on la met en série avec un conducteur ohmique, qui prend à son compte une partie de la tension et ramène l'intensité à une valeur supportable, de l'ordre de 20 mA. Un rhéostat, lui, est un conducteur ohmique de résistance réglable : le faire varier permet de régler l'éclat d'une lampe ou la vitesse d'un petit moteur.

Associer deux conducteurs ohmiques en série : un résultat non exigible, qu'on peut pourtant démontrer. Deux conducteurs ohmiques $R_1$ et $R_2$ montés en série se comportent comme un seul, de résistance

La démonstration n'utilise que la leçon précédente. En série, l'intensité $I$ est la même dans les deux, et les tensions s'additionnent :

Deux résistances de 47 $\Omega$ et 100 $\Omega$ en série équivalent donc à 147 $\Omega$ : mettre des conducteurs ohmiques en série augmente la résistance totale, donc diminue le courant.

Et en dérivation ? Relation DONNÉE, hors programme du collège. Deux conducteurs ohmiques montés en dérivation équivalent à un seul, de résistance

Cette relation n’est pas à retenir : elle est donnée pour permettre de vérifier un fait important, lui accessible sans calcul. Avec $R_1 = 100\ \Omega$ et $R_2 = 100\ \Omega$, elle donne $R = 10\,000/200 = 50\ \Omega$ : la résistance de l'ensemble est plus petite que chacune des deux. C'est logique — ouvrir une seconde branche offre au courant un chemin de plus, donc laisse passer davantage de courant. Mettre en dérivation diminue la résistance totale ; mettre en série l'augmente.

Ordres de grandeur.

Ces deux dernières lignes expliquent enfin, en une grandeur unique, les branchements de la première leçon.

Ce que la loi d'Ohm ouvre. Elle permet de prévoir le partage des tensions en série, au lieu de le constater : deux conducteurs ohmiques en série traversés par le même courant se partagent la tension proportionnellement à leur résistance. En 3e, elle servira aussi à calculer la puissance dissipée par effet Joule, avec la relation $P = R \times I^2$, qui sera donnée dans l'énoncé le jour venu.

Dans un modèle à température supposée stable, un groupe relève la caractéristique d’un conducteur ohmique. Les extrapolations numériques ci-dessous supposent ce modèle encore valable ; toute manipulation exige un composant de puissance admissible adaptée. Pour chaque valeur de la tension imposée par le générateur, il lit l'intensité à l'ampèremètre :

1. Ce dipôle est-il ohmique ? On convertit les intensités en ampères, puis on calcule le quotient $U/I$ pour chaque mesure :

Les quatre quotients valent tous 47, aux erreurs de mesure près : les mesures sont compatibles avec un conducteur ohmique sur cette plage. Le point (0 ; 0) est lui aussi cohérent avec la droite passant par l’origine ; quelques mesures ne prouvent pas une loi pour tous les régimes.

2. Quelle est sa résistance ? Le quotient constant est la résistance :

Trois chiffres significatifs sont ici excessifs : les mesures ne le justifient pas. On retient $R \approx 47\ \Omega$.

3. Quelle tension faut-il appliquer pour obtenir une intensité de 200 mA ? Conversion d'abord : $I = 200\ \text{mA} = 0{,}200$ A. Puis la loi d'Ohm dans le sens direct :

4. Quelle intensité obtiendrait-on sous 12 V ? On isole $I$ :

Contrôle de cohérence : 12 V, c'est le double de 6,00 V ; l'intensité devrait donc être le double de 128 mA, soit 256 mA. On retrouve bien 255 mA à l'arrondi près. La proportionnalité sert de vérification gratuite.

5. Le même groupe recommence avec une lampe et obtient ce tableau :

Quotients : $1{,}50/0{,}090 \approx 17$ ; $3{,}00/0{,}140 \approx 21$ ; $4{,}50/0{,}175 \approx 26$ ; $6{,}00/0{,}200 = 30$. Le quotient augmente nettement : la lampe n'est pas un conducteur ohmique, et lui attribuer une résistance constante pour tous ces points serait incorrect. Physiquement, son filament chauffe et freine de plus en plus le courant.

6. Interpréter. Deux dipôles, deux tableaux qui se ressemblent, deux conclusions opposées. Ce qui les sépare tient en un geste : calculer les quotients $U/I$ et regarder s'ils restent constants. Ce contrôle permet d’évaluer la compatibilité avec une résistance constante sur la plage observée ; il faut aussi respecter les conditions physiques du modèle.

Le graphique compare une caractéristique approximativement linéaire passant par l’origine et celle d’une lampe à filament. Pour le conducteur ohmique, le triangle donne 9,4 V pour 0,200 A : la pente est donc 47 Ω, avec l’intensité convertie en ampères.

Pour la lampe, les rapports U/I ne restent pas constants : sa résistance statique dépend du point de fonctionnement, notamment de la température du filament. Cela n’empêche pas de définir U/I à un point où I est non nul ; cela empêche de conserver une même valeur pour toute la courbe. Les tracés doivent être interprétés dans la plage mesurée et sous les conditions du modèle.