Les ondes mécaniques périodiques : une période dans le temps, une dans l'espace

Jetez un caillou dans un bassin. Des rides circulaires s'éloignent du point d'impact ; un bouchon posé plus loin se met à monter et descendre quand elles l'atteignent — mais il ne part pas avec elles. Il oscille sur place, puis retrouve le repos. Ce qui a voyagé du caillou au bouchon, ce n'est pas de l'eau : c'est une perturbation, et avec elle de l'énergie. Voilà une onde.

Modèle retenu. Les calculs de retard décrivent une onde progressive se propageant sans déformation ni amortissement dans un milieu homogène, linéaire et non dispersif, le long d’une direction donnée. L’absence de transport net de matière est l’approximation au premier ordre ; des ondes réelles à la surface de l’eau peuvent aussi induire une dérive.

Onde mécanique progressive. Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport net de matière au premier ordre du modèle mais avec transport d'énergie. Chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source, avec un retard d'autant plus grand qu'il en est éloigné.

La célérité. La perturbation avance à une vitesse que l'on appelle célérité $v$, en mètres par seconde, pour la distinguer de la vitesse des points du milieu (le bouchon monte et descend ; la ride avance). La célérité dépend du milieu — $340$ m/s pour le son dans l'air, quelques dizaines de centimètres par seconde pour une ride sur l'eau, plusieurs dizaines de mètres par seconde le long d'une corde tendue — et de son état. Dans le modèle linéaire non dispersif, elle ne dépend pas de la fréquence ni de l’amplitude ; dans un milieu dispersif, la célérité de phase peut dépendre de la fréquence. Un point $M$ situé à la distance $d$ de la source reçoit la perturbation avec le retard

Onde périodique. Si la source ne donne pas une secousse unique mais oscille régulièrement, l'onde devient périodique : la perturbation se répète identique à elle-même à intervalles réguliers. Et là se produit la nouveauté de cette leçon — l'onde est périodique deux fois.

Dans le temps : en un point fixe du milieu, le mouvement se répète toutes les $T$ secondes. $T$ est la période temporelle, la même que celle de la source ; $f = 1/T$ est la fréquence, en hertz.

Dans l'espace : à un instant donné, si l'on photographie le milieu, le motif se répète tous les $\lambda$ mètres — d'une crête à la suivante. $\lambda$ (lambda) est la période spatiale, ou longueur d'onde, en mètres.

Les deux sont liées par la célérité, et la relation se déduit en une phrase : pendant une période $T$, la source a fait exactement une oscillation, et la perturbation émise au début de cette période a parcouru la distance $v \times T$. Cette distance sépare donc deux crêtes successives.

Relation fondamentale. $\lambda = v \times T = \dfrac{v}{f}$ : la longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période.

Quand la source oscille sinusoïdalement, l'onde est dite sinusoïdale : c'est le cas modèle du programme, celui du diapason, du vibreur d'une cuve à ondes, du haut-parleur alimenté par un signal sinusoïdal.

Deux graphiques pour deux périodicités. Une onde périodique se représente de deux façons, et savoir laquelle on regarde est la moitié du travail. Le premier graphique donne l'élongation d'un point fixe en fonction du temps : son axe horizontal est en secondes, le motif se répète tous les $T$ — on y lit la période temporelle. Le second donne l'élongation de tous les points à un instant fixe en fonction de la position : son axe horizontal est en mètres, le motif se répète tous les $\lambda$ — on y lit la longueur d'onde. Les deux courbes se ressemblent à s'y méprendre ; l'unité de l'axe horizontal tranche.

Le retard, autrement dit. Un point situé à $d$ de la source reproduit son mouvement décalé de $\tau = d/v$. Si $d$ est un multiple entier de $\lambda$, alors $\tau = k\lambda/v = kT$ : le retard vaut un nombre entier de périodes, et le point vibre en phase avec la source — même mouvement au même instant. Pour une onde sinusoïdale, si $d$, mesuré le long de la propagation, vaut un nombre entier de $\lambda$ plus une demi-longueur d’onde, le point vibre en opposition de phase : il est en creux quand la source est en crête. Deux points séparés le long de la propagation d’un multiple de $\lambda$ vibrent en phase — c'est même une autre définition de la longueur d'onde : la plus petite distance strictement positive le long de la propagation entre points dans le même état vibratoire en régime périodique établi.

Ce que fixe la source, ce que fixe le milieu. La fréquence est imposée par la source : un vibreur à $2{,}5$ Hz crée une onde à $2{,}5$ Hz, sur l'eau comme sur une corde. La célérité est imposée par le milieu. La longueur d'onde, quotient de l'un par l'autre, dépend donc des deux : la même note de $440$ Hz a $\lambda = 340/440 \approx 0{,}77$ m dans l'air et $\lambda \approx 3{,}4$ m dans l'eau, où le son va à $1500$ m/s. Dans un modèle non dispersif, changer la fréquence à milieu fixé change $\lambda$, pas $v$ ; changer de milieu à fréquence fixée change $v$ et $\lambda$ ensemble.

Mesurer sur plusieurs périodes. Sur un enregistrement, la période se mesure plus précisément en chronométrant $10$ motifs et en divisant par $10$ qu'en chronométrant un seul : si l’incertitude absolue de lecture sur la durée totale est comparable à celle sur un motif, la division réduit cette contribution. Les dérives, corrélations et changements de résolution doivent être examinés séparément. Même chose pour $\lambda$ sur une photographie : la distance entre la première et la sixième crête, divisée par $5$. C'est la méthode de tous les travaux pratiques, et elle est attendue dans les corrigés.

Ondes longitudinales, ondes transversales. Dans le modèle transverse d’une corde, le déplacement est perpendiculaire à la propagation. À la surface de l’eau, le mouvement réel peut comporter des composantes verticale et horizontale : la seule représentation de l’élévation n’en décrit pas toute la trajectoire. Pour le son dans l’air, le déplacement acoustique moyen des petites parcelles est longitudinal ; il se superpose à l’agitation thermique microscopique. La relation $\lambda=vT$ utilise la célérité de phase du motif périodique.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Ce que font deux ondes qui se croisent (interférences), ce qu'une onde fait en traversant une ouverture (diffraction) : la Terminale. L’écriture mathématique de l’élongation en fonction de $x$ et de $t$ est laissée hors du périmètre choisi ici. Ici, l'outil est la double périodicité et une seule relation.

Modèle de l’exemple. On idéalise les ondes de faible amplitude de la cuve par une propagation non dispersive à profondeur constante, sans déformation ni dérive nette au premier ordre. Dans ce modèle, la vitesse de phase calculée est aussi celle utilisée pour le retard du début du signal.

Énoncé. Dans une cuve à ondes, un vibreur frappe la surface de l'eau à la fréquence $f = 2{,}5$ Hz, créant une onde sinusoïdale rectiligne. Sur une photographie de la surface prise à un instant donné, la distance entre la première et la sixième crête vaut $40{,}0$ cm.

Questions. 1. Calculer la période $T$ de l'onde. 2. Déterminer sa longueur d'onde $\lambda$. 3. En déduire la célérité $v$ des ondes à la surface de l'eau de cette cuve. 4. Un bouchon flotte à $d = 60$ cm du vibreur ; avec quel retard reçoit-il l'onde, et comment vibre-t-il par rapport au vibreur ?

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1. La période temporelle. Elle est imposée par la source :

Tous les $0{,}40$ s, chaque point de la surface retrouve le même état vibratoire (position et sens du mouvement).

2. La longueur d'onde — lue sur plusieurs motifs. Entre la première et la sixième crête, il y a $5$ longueurs d'onde :

Si l’incertitude absolue sur l’écart entre crêtes était identique, une mesure sur un seul intervalle aurait une contribution de lecture cinq fois plus grande ; cette hypothèse doit être vérifiée dans le protocole.

3. La célérité. Pendant une période, l'onde avance d'une longueur d'onde :

Vingt centimètres par seconde : l'ordre de grandeur des rides sur l'eau, environ 1700 fois moins que le son à 340 m/s dans l’air. Contrôle d'homogénéité : des mètres divisés par des secondes donnent bien des mètres par seconde.

4. Le retard et la phase. Le bouchon est à $d = 0{,}60$ m :

Trois secondes après la mise en route du vibreur, le bouchon commence à osciller — à la même fréquence $2{,}5$ Hz, sans avancer. Et comme $\dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{0{,}60}{0{,}080} = 7{,}5$, le bouchon est à sept longueurs d'onde et demie du vibreur : il vibre en opposition de phase avec lui — au creux quand le vibreur est au sommet. On le vérifie par le retard : $\tau = 3{,}0$ s $= 7{,}5\,T$, sept périodes et demie.

5. Contrôler. $\lambda = v \times T$ : $0{,}20 \times 0{,}40 = 0{,}080$ m ✔. Ordre de grandeur de la célérité sur l'eau ✔. Retard positif et cohérent avec $d/\lambda = \tau/T$ ✔.

Le graphique temporel d’un point fixe donne $T=0,40$ s ; la photographie spatiale donne $\lambda=8,0$ cm. Commencez par lire l’unité de chaque axe : des courbes semblables ne représentent pas la même grandeur.

La cuve est représentée dans le modèle sinusoïdal non dispersif annoncé. À60 cm, le retard vaut3,0 s et la séparation le long de la propagation vaut7,5 longueurs d’onde : les oscillations sont opposées en phase. Le mouvement de l’eau est idéalisé au premier ordre ; la flèche d’élévation ne décrit pas toute la trajectoire d’une particule dans une onde réelle.