Chiffres significatifs et incertitudes : dire ce que l'on sait, sans inventer

Mesure trois fois la même longueur avec la même règle, et tu obtiendras souvent trois valeurs légèrement différentes : $12{,}4$ cm, $12{,}5$ cm, $12{,}4$ cm. Aucune n'est « fausse » — c'est la mesure elle-même qui est variable. Position de l'œil, réglage de l'appareil, petites fluctuations de la grandeur : mille causes minuscules font qu'une mesure n'est jamais exacte, seulement plus ou moins précise.

La physique en tire deux outils, qui font l'objet de cette leçon.

Les chiffres significatifs d'un résultat sont les chiffres qui portent une information de mesure. Écrire un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs, c'est dire honnêtement ce que l'on sait — ni plus, ni moins.

L'incertitude-type, notée $u$, est un nombre qui chiffre la dispersion d'une mesure : elle donne l'ordre de grandeur de l'écart typique entre la valeur mesurée et ce qu'on obtiendrait en recommençant.

Compter les chiffres significatifs. La règle tient en trois points. On part du premier chiffre non nul en lisant de gauche à droite ; à partir de lui, tous les chiffres comptent, zéros compris ; les zéros placés avant lui ne comptent jamais — ils ne font que situer la virgule.

La quatrième ligne montre l'intérêt de la notation scientifique : elle rend le compte sans ambiguïté. À l'inverse, un entier terminé par des zéros, comme « $530$ », est ambigu — impossible de savoir si le zéro est mesuré ou s'il ne fait que tenir la place. Quand la précision compte, on écrit $5{,}3 \times 10^{2}$ ou $5{,}30 \times 10^{2}$ selon le cas.

Pourquoi $2{,}5$ et $2{,}50$ ne disent pas la même chose. Le premier annonce une valeur connue au dixième près ; le second, au centième près. En mathématiques, les deux nombres sont égaux ; en physique, les deux résultats sont différents, parce qu'ils ne promettent pas la même précision. C'est le premier réflexe de lycéen à prendre : un résultat de mesure engage celui qui l'écrit.

Combien de chiffres garder après un calcul ? La calculatrice affiche douze chiffres ; presque tous sont illusoires. Pour un produit ou un quotient — les seuls cas au programme de seconde —, la règle est :

Le résultat d'un produit ou d'un quotient s'écrit avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple : une distance $d = 12{,}5$ m ($3$ chiffres significatifs) parcourue en $t = 4{,}2$ s ($2$ chiffres). La calculatrice affiche $12{,}5 / 4{,}2 \approx 2{,}976190\ldots$ La donnée la moins précise porte $2$ chiffres : le résultat s'écrit $v \approx 3{,}0$ m/s. Ni $2{,}976$ m/s (précision inventée), ni $3$ m/s (le zéro de $3{,}0$ est significatif : il dit « connu au dixième »).

Deux précisions d'usage. D'abord, on arrondit à la toute fin : les étapes intermédiaires se mènent avec tous les chiffres, sinon les arrondis s'accumulent. Ensuite, ce n'est pas le nombre de décimales qui compte, mais le nombre de chiffres significatifs : $0{,}0042$ n'a que deux chiffres significatifs, malgré ses quatre décimales.

Chiffrer la variabilité : la démarche statistique. Quand une mesure est variable, on la répète. Une série de $n$ mesures $x_1, x_2, \ldots, x_n$ se résume alors par trois nombres.

1. La valeur moyenne $\overline{x}$ : la somme des mesures divisée par $n$. C'est elle qu'on retient comme résultat de la mesure.

1. L'écart-type expérimental $s_{n-1}$ : une grandeur qui chiffre la dispersion des mesures autour de la moyenne. On calcule les écarts $x_i - \overline{x}$, on les élève au carré (pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas), on divise leur somme par $n - 1$, et on prend la racine carrée :

1. L'incertitude-type sur la moyenne : plus on répète la mesure, plus la moyenne est fiable. La démarche retenue au lycée — celle de la ressource d'accompagnement Éduscol sur la mesure et les incertitudes — est

En pratique, l'écart-type se lit sur la calculatrice — touche $s_{n-1}$ ou $s_x$, et non $\sigma_n$, qui divise par $n$ : les deux touches existent et ne donnent pas le même nombre.

Écrire le résultat final. Le résultat d'une mesure répétée s'écrit avec sa moyenne et son incertitude :

Deux conventions d'écriture l'accompagnent. L'incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, jamais davantage — la préciser plus finement n'aurait aucun sens, puisqu'elle chiffre justement une imprécision. Et la moyenne s'arrondit au même rang décimal que l'incertitude : écrire $m = 12{,}3417 \pm 0{,}009$ g mélange deux précisions incompatibles ; on écrit $m = 12{,}342 \pm 0{,}009$ g.

Comparer à une valeur de référence. Une mesure de la vitesse du son donne $\overline{v} = 336$ m/s avec $u(v) = 4$ m/s, alors que la valeur tabulée à cette température est $340$ m/s. La mesure est-elle compatible ? On regarde l'écart : $|336 - 340| = 4$ m/s, soit exactement une incertitude-type. Un écart de l'ordre de $u$, voire de $2\,u$, est banal : la mesure est compatible avec la référence. Un écart de plusieurs fois $u$ signalerait au contraire un problème — appareil déréglé, erreur de protocole, ou grandeur qui n'est pas celle qu'on croit. L'incertitude sert exactement à cela : transformer « c'est à peu près pareil » en jugement chiffré.

Énoncé. Pour déterminer la masse d'un petit solide, une élève le pèse cinq fois sur une balance de précision affichant le centième de gramme. Elle relève :

Question 1. Calculer la valeur moyenne $\overline{m}$ de la série.

Question 2. Calculer l'écart-type expérimental $s_{n-1}$, puis l'incertitude-type $u(m) = \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}$.

Question 3. Écrire le résultat de la mesure sous la forme $m = \overline{m} \pm u(m)$.

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Question 1 — la moyenne.

1. Additionner les cinq mesures.

2. Diviser par le nombre de mesures.

La valeur moyenne est $\overline{m} = 12{,}34$ g — au même rang décimal que les mesures : la balance donne le centième de gramme, la moyenne n'en sait pas plus.

Question 2 — dispersion et incertitude.

1. Calculer les écarts à la moyenne. Dans l'ordre : $-0{,}02$ ; $+0{,}01$ ; $-0{,}01$ ; $+0{,}03$ ; $-0{,}01$ (en grammes). Contrôle utile : leur somme vaut zéro, comme toujours pour des écarts à la moyenne.

2. Sommer les carrés des écarts.

3. Diviser par $n - 1 = 4$, puis prendre la racine.

L'écart-type expérimental vaut $0{,}02$ g : les pesées s'écartent typiquement de deux centièmes de gramme de la moyenne. (Sur une calculatrice, c'est la touche $s_{n-1}$ ou $s_x$ qui donne ce nombre — pas $\sigma_n$.)

4. En déduire l'incertitude-type.

On garde l'écriture $u(m) \approx 0{,}009$ g : une incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, jamais plus.

Question 3 — le résultat final.

L'incertitude est arrondie au millième de gramme : la moyenne s'écrit au même rang.

$m = (12{,}340 \pm 0{,}009)$ g.

Le zéro final de $12{,}340$ n'est pas décoratif : il est significatif, et il aligne la moyenne sur le rang de l'incertitude. Ce résultat dit exactement ce que l'élève sait : la masse vaut environ $12{,}34$ g, à un centième de gramme près environ — et rien de plus.

Figure (fig.physics.significant-figures-uncertainty, SVG programmatique à produire) : un axe de mesure en haut, un guide de comptage en bas.

• Panneau du haut — la série de pesées sur un axe. Un axe horizontal gradué de $12{,}30$ à $12{,}40$ g, tous les centièmes. Les cinq mesures de l'exemple ($12{,}32$ ; $12{,}35$ ; $12{,}33$ ; $12{,}37$ ; $12{,}33$) sont portées par des points ronds au-dessus de l'axe — la valeur $12{,}33$, obtenue deux fois, est marquée par deux points empilés. Un trait vertical épais coupe l'axe à la moyenne $12{,}34$, étiqueté $\overline{m}$. Autour de ce trait, une bande verticale colorée de demi-largeur $0{,}009$ figure l'incertitude-type, avec l'étiquette « $\pm\,u(m)$ ». Sous l'axe, une accolade horizontale va de la plus petite mesure à la plus grande, légendée « dispersion de la série : les points ne tombent pas au même endroit, et c'est normal ».
• Panneau du bas — compter les chiffres significatifs. Trois écritures alignées verticalement, chaque chiffre dans une case : $0{,}0025$, puis $2{,}50$, puis $3{,}00 \times 10^{8}$. Dans chaque écriture, une flèche pointe le premier chiffre non nul, les cases des chiffres significatifs sont teintées et comptées ($2$, $3$, $3$), et les zéros de tête de la première écriture sont grisés avec la mention « situent la virgule, ne comptent pas ». Sous la troisième écriture, une note relie la mantisse à son compte : « la puissance de dix ne compte jamais ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut raconte toute la démarche statistique en une image : des mesures répétées se dispersent, la moyenne les résume, et la bande étroite autour d'elle — bien plus étroite que la dispersion des points, d'un facteur $\sqrt{n}$ — chiffre la confiance qu'on accorde à cette moyenne. Le panneau du bas donne la règle de lecture des écritures : on part du premier chiffre non nul, tout compte ensuite, et la notation scientifique lève toute ambiguïté.

Les unités. La moyenne, l'écart-type et l'incertitude s'expriment tous dans l'unité des mesures : des grammes pour des pesées, des secondes pour des durées. Une incertitude n'est pas un pourcentage par défaut — quand on veut un écart relatif, on l'écrit explicitement $u(x)/\overline{x}$.

Deux ordres de grandeur à garder en tête. L'incertitude-type diminue en $1/\sqrt{n}$ : pour la diviser par $10$, il faut cent fois plus de mesures — répéter aide, mais de moins en moins vite. Et un écart à la référence de l'ordre d'une ou deux incertitudes-types est banal : seuls les écarts nettement plus grands doivent inquiéter.

1. Recopier tous les chiffres de la calculatrice. $12{,}5 / 4{,}2 = 2{,}976190476$ : neuf chiffres affichés, deux seulement sont justifiés. La précision d'un résultat ne peut pas dépasser celle des données — les chiffres excédentaires sont une information inventée. Le réflexe : compter les chiffres significatifs des données avant de calculer.
2. Compter les zéros de position comme significatifs. Dans $0{,}0025$, les trois zéros de tête ne font que situer la virgule : l'écriture porte $2$ chiffres significatifs, pas $4$. Le test infaillible : passe en notation scientifique ($2{,}5 \times 10^{-3}$) et compte la mantisse.
3. Croire au contraire qu'un zéro final ne compte pas. Dans $2{,}50$, le zéro est significatif : il annonce une précision au centième. Le supprimer change le sens du résultat. Un zéro placé après le premier chiffre non nul compte toujours.
4. Donner l'incertitude avec trop de chiffres. $u(m) = 0{,}008944$ g prétend chiffrer une imprécision au millionième de gramme : c'est contradictoire. Une incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, et la moyenne s'arrondit au même rang décimal qu'elle.
5. Confondre les deux touches d'écart-type de la calculatrice. $\sigma_n$ divise par $n$, $s_{n-1}$ divise par $n - 1$ : les deux nombres diffèrent, surtout pour les petites séries. Le programme utilise l'écart-type expérimental $s_{n-1}$ — touche $s_x$ sur la plupart des modèles.
6. Arrondir les étapes intermédiaires. Arrondir la somme, puis le quotient, puis la racine accumule les erreurs et peut déplacer le dernier chiffre du résultat. On calcule tout au long avec tous les chiffres, et on arrondit une seule fois, à la fin.
7. Croire qu'une série dispersée est une série ratée. La variabilité est la règle, pas l'exception : c'est précisément pour cela qu'on répète les mesures et qu'on calcule une incertitude. Une série parfaitement identique doit plutôt éveiller le soupçon — l'appareil arrondit peut-être plus fort que la dispersion réelle.
8. Comparer à une référence sans utiliser l'incertitude. « $336$, ce n'est pas $340$, donc la mesure est fausse » : non. La bonne question est « l'écart vaut-il quelques incertitudes-types, ou beaucoup plus ? ». Sans $u$, aucune comparaison n'a de sens.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon alterne deux gestes : compter les chiffres significatifs d'une écriture donnée (décimale, entière ou scientifique — les zéros de tête et les zéros finaux y sont les vrais pièges), et produire l'écriture correcte du résultat d'un produit ou d'un quotient du cours ($U = R \times I$, $v = d/t$, etc.), en arrondissant au nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise. Un modèle voisin fait dérouler la démarche statistique complète sur une série de mesures : moyenne, étendue, incertitude-type.

Énoncé type. Un conducteur ohmique est parcouru par un courant continu. On mesure sa résistance $R = 47{,}3$ Ω et l'intensité du courant $I = 0{,}25$ A. Calculer la tension $U = R \times I$ et donner le résultat avec le nombre correct de chiffres significatifs, en volts.

Corrigé complet.

1. Compter les chiffres significatifs des données. $R = 47{,}3$ Ω en porte $3$. $I = 0{,}25$ A en porte $2$ — le zéro de tête situe la virgule, il ne compte pas.

2. Calculer sans arrondir.

3. Appliquer la règle du produit. La donnée la moins précise porte $2$ chiffres significatifs : le résultat s'écrit avec $2$ chiffres significatifs.

4. Arrondir, à la toute fin.

$U \approx 12$ V.

5. Contrôler. L'ordre de grandeur est cohérent (quelques dizaines d'ohms sous un quart d'ampère donnent une dizaine de volts), et l'écriture ne promet rien que la mesure ne sache : $11{,}825$ V aurait prétendu connaître la tension au millivolt à partir d'une intensité connue au centième d'ampère.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je compté les chiffres significatifs, et non les décimales ? Ai-je arrondi une seule fois, à la fin ? Et mon résultat porte-t-il exactement le compte de la donnée la moins précise ?