Chiffres significatifs et incertitudes : dire ce que l'on sait, sans inventer

Mesurez trois fois la même longueur avec la même règle, et vous obtiendrez souvent trois valeurs légèrement différentes : $12{,}4$ cm, $12{,}5$ cm, $12{,}4$ cm. Aucune n'est « fausse » — c'est la mesure elle-même qui est variable. Position de l'œil, réglage de l'appareil, petites fluctuations de la grandeur : mille causes minuscules font qu'on ne peut pas supposer une mesure parfaitement exacte ; il faut en évaluer l’incertitude.

La physique en tire deux outils, qui font l'objet de cette leçon.

Les chiffres significatifs d'un résultat sont les chiffres qui portent une information de mesure. Écrire un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs, c'est dire honnêtement ce que l'on sait — ni plus, ni moins.

L’incertitude-type, notée $u$, caractérise la dispersion des valeurs attribuables à la grandeur mesurée dans le modèle d’évaluation retenu. La composante statistique sur une moyenne ne décrit pas la même dispersion que les mesures individuelles ; les deux seront distinguées ci-dessous.

Compter les chiffres significatifs. La règle tient en trois points. On part du premier chiffre non nul en lisant de gauche à droite ; dans une écriture décimale explicitant sa précision ou dans la mantisse scientifique, les chiffres à partir de lui comptent, zéros compris ; les entiers à zéros finaux peuvent rester ambigus ; les zéros placés avant lui ne comptent jamais — ils ne font que situer la virgule.

La quatrième ligne montre l'intérêt de la notation scientifique : elle rend le compte sans ambiguïté. À l'inverse, un entier terminé par des zéros, comme « $530$ », est ambigu — impossible de savoir si le zéro est mesuré ou s'il ne fait que tenir la place. Quand la précision compte, on écrit $5{,}3 \times 10^{2}$ ou $5{,}30 \times 10^{2}$ selon le cas.

Pourquoi $2{,}5$ et $2{,}50$ ne disent pas la même chose. Le premier annonce une valeur connue au dixième près ; le second, au centième près. En mathématiques, les deux nombres sont égaux ; en physique, les deux résultats sont différents, parce qu'ils ne promettent pas la même précision. C'est le premier réflexe de lycéen à prendre : un résultat de mesure engage celui qui l'écrit.

Combien de chiffres garder après un calcul ? La calculatrice affiche douze chiffres ; presque tous sont illusoires. Pour un produit ou un quotient — les cas traités ici —, on utilise ici une convention pratique d’arrondi, qui ne remplace pas une évaluation complète des incertitudes :

Le résultat d'un produit ou d'un quotient s'écrit avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple : une distance $d = 12{,}5$ m ($3$ chiffres significatifs) parcourue en $t = 4{,}2$ s ($2$ chiffres). La calculatrice affiche $12{,}5 / 4{,}2 \approx 2{,}976190\ldots$ La donnée la moins précise porte $2$ chiffres : le résultat s'écrit $v \approx 3{,}0$ m/s. Ni $2{,}976$ m/s (précision inventée), ni $3$ m/s (le zéro de $3{,}0$ est significatif : il dit « connu au dixième »).

Deux précisions d'usage. D'abord, on arrondit à la toute fin : les étapes intermédiaires se mènent avec tous les chiffres, sinon les arrondis s'accumulent. Ensuite, ce n'est pas le nombre de décimales qui compte, mais le nombre de chiffres significatifs : $0{,}0042$ n'a que deux chiffres significatifs, malgré ses quatre décimales.

Chiffrer la variabilité : la démarche statistique. Quand une mesure est variable, on la répète. On suppose des observations indépendantes, de même grandeur stable et dans les mêmes conditions. Une série de $n$ mesures $x_1, x_2, \ldots, x_n$ se résume alors par trois nombres.

1. La valeur moyenne $\overline{x}$ : la somme des mesures divisée par $n$. C'est elle qu'on retient comme résultat de la mesure.

1. L'écart-type expérimental $s_{n-1}$ : une grandeur qui chiffre la dispersion des mesures autour de la moyenne. On calcule les écarts $x_i - \overline{x}$, on les élève au carré (pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas), on divise leur somme par $n - 1$, et on prend la racine carrée :

1. L'incertitude-type sur la moyenne : la composante statistique de l’incertitude sur la moyenne diminue quand on répète indépendamment la mesure dans les mêmes conditions. Un biais commun, une incertitude d’étalonnage ou toute autre composante ne disparaissent pas pour autant. La démarche retenue au lycée — celle de la ressource d'accompagnement Éduscol sur la mesure et les incertitudes — est

En pratique, l'écart-type se lit sur la calculatrice — touche $s_{n-1}$ ou $s_x$, et non $\sigma_n$, qui divise par $n$ : les deux touches existent et ne donnent pas le même nombre.

Écrire le résultat final. Le résultat d'une mesure répétée s'écrit avec sa moyenne et son incertitude :

Deux conventions d'écriture l'accompagnent. L'incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs pour le résultat final selon la convention retenue ; on peut conserver davantage de chiffres dans les calculs intermédiaires pour éviter des erreurs d’arrondi. Et la moyenne s'arrondit au même rang décimal que l'incertitude : écrire $m = 12{,}3417 \pm 0{,}009$ g mélange deux précisions incompatibles ; on écrit $m = 12{,}342 \pm 0{,}009$ g.

Comparer à une valeur de référence. Une mesure de la vitesse du son donne $\overline{v} = 336$ m/s avec $u(v) = 4$ m/s, alors que la référence à cette température vaut $340$ m/s, avec une incertitude supposée négligeable devant 4 m/s pour cet exemple. La mesure est-elle compatible ? On regarde l'écart : $|336 - 340| = 4$ m/s, soit exactement une incertitude-type. Un écart de l'ordre de $u$, voire de $2\,u$, est banal : la mesure est compatible avec la référence. Un écart de plusieurs fois $u$ invite à examiner les hypothèses, l’étalonnage, le protocole et la référence ; il ne prouve pas à lui seul une erreur certaine. L'incertitude sert exactement à cela : transformer « c'est à peu près pareil » en jugement chiffré.

Énoncé. Dans cet exemple construit, une élève pèse cinq fois un solide stable, avec une balance affichant le centième de gramme. On suppose les observations indépendantes et les mêmes conditions ; on évalue seulement la composante statistique de l’incertitude sur la moyenne. Elle relève :

Question 1. Calculer la valeur moyenne $\overline{m}$ de la série.

Question 2. Calculer l'écart-type expérimental $s_{n-1}$, puis l'incertitude-type $u(m) = \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}$.

Question 3. Écrire le résultat de la mesure sous la forme $m = \overline{m} \pm u(m)$.

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Question 1 — la moyenne.

1. Additionner les cinq mesures.

2. Diviser par le nombre de mesures.

La valeur moyenne est $\overline{m} = 12{,}34$ g comme valeur moyenne calculée. Une moyenne peut permettre d’évaluer plus finement une composante aléatoire sous les hypothèses données ; elle ne supprime ni les effets de résolution ni un biais commun.

Question 2 — dispersion et incertitude.

1. Calculer les écarts à la moyenne. Dans l'ordre : $-0{,}02$ ; $+0{,}01$ ; $-0{,}01$ ; $+0{,}03$ ; $-0{,}01$ (en grammes). Contrôle utile : leur somme vaut zéro, comme toujours pour des écarts à la moyenne.

2. Sommer les carrés des écarts.

3. Diviser par $n - 1 = 4$, puis prendre la racine.

L'écart-type expérimental vaut $0{,}02$ g : les pesées s'écartent typiquement de deux centièmes de gramme de la moyenne. (Sur une calculatrice, c'est la touche $s_{n-1}$ ou $s_x$ qui donne ce nombre — pas $\sigma_n$.)

4. En déduire l'incertitude-type.

On garde l'écriture $u(m) \approx 0{,}009$ g : on retient ici un chiffre significatif pour la présentation finale, sans interdire davantage de chiffres dans les étapes intermédiaires.

Question 3 — le résultat final.

L'incertitude est arrondie au millième de gramme : la moyenne s'écrit au même rang.

$m = (12{,}340 \pm 0{,}009)$ g.

Le zéro final de $12{,}340$ n'est pas décoratif : il est significatif, et il aligne la moyenne sur le rang de l'incertitude. Ce résultat indique la moyenne et sa seule incertitude-type statistique dans le modèle choisi. Il n’est pas un intervalle de confiance garanti et ne constitue pas un bilan complet des autres composantes de mesure.

Les cinq points correspondent aux pesées construites 12,32 ; 12,35 ; 12,33 ; 12,37 ; 12,33 g. Le trait marque leur moyenne 12,34 g. L’accolade relie le minimum au maximum : elle montre l’étendue de 0,05 g, et non l’écart-type. Le calcul donne s = 0,02 g ; sous les hypothèses d’observations indépendantes dans les mêmes conditions, la composante statistique sur la moyenne vaut s/√5 ≈ 0,009 g, demi-largeur de la bande.

La relation en √n lie cette composante de moyenne à s ; elle ne relie pas directement la bande à l’étendue d’un échantillon. Davantage de répétitions n’abolit pas un biais commun ou toutes les composantes instrumentales. Le panneau du bas rappelle le comptage des chiffres, avec des écritures dont la précision est explicite.