Le circuit RC : charger un condensateur prend un temps

Jusqu'ici, en électricité, tout était instantané. On fermait un interrupteur, la loi d'Ohm donnait l'intensité, les lois des circuits donnaient les tensions, et c'était réglé : le régime permanent s'installait sans qu'on se demande combien de temps il avait mis à s'installer. Cette leçon ouvre l'intervalle qu'on avait passé sous silence — ce qui se passe entre la fermeture de l'interrupteur et l'équilibre final. On l'appelle le régime transitoire.

Le problème. Un flash d'appareil photo doit délivrer beaucoup d'énergie en un instant très court, puis se recharger lentement. Un minuteur d'escalier doit éteindre la lumière au bout d'une durée choisie. Un capteur doit ignorer les parasites très brefs et ne réagir qu'aux signaux qui durent. Ces trois besoins ont la même réponse : un composant capable de stocker des charges électriques et de les rendre, associé à un conducteur ohmique qui règle la vitesse à laquelle il se remplit et se vide. Ce composant est le condensateur, et l'association des deux forme un circuit RC.

Le condensateur. Il est fait de deux plaques conductrices, appelées armatures, séparées par un isolant. Dans le modèle idéal sans fuite ni claquage, aucune charge ne traverse l’isolant : quand on branche le condensateur, des charges s'accumulent sur une armature et un nombre égal de charges opposées sur l'autre. On choisit une armature de référence de charge algébrique $q$ et la tension $u_C$ de cette armature par rapport à l’autre. Le courant positif $i$ entre par cette armature : c’est la convention récepteur, en charge comme en décharge. Cette charge est proportionnelle à la tension entre les armatures.

Relation du condensateur. $q = C\,u_C$, où $u_C$ est la tension aux bornes du condensateur en volts, $q$ la charge en coulombs, et $C$ la capacité du condensateur, en farads (symbole F).

Le farad est une unité énorme : les condensateurs des travaux pratiques se comptent en microfarads (µF, millionièmes de farad) ou en nanofarads (nF, milliardièmes de farad). Retenir ces préfixes n'est pas un détail : c'est là que se perdent la moitié des résultats.

Le lien entre charge et courant. L'intensité du courant est le débit de charge : la quantité de charge qui traverse une section du circuit par unité de temps. Autrement dit, l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps, ce qui s'écrit $i = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$. En remplaçant $q$ par $C\,u_C$, avec une capacité qui ne change pas au cours du temps :

Cette égalité dit une chose simple et importante : il ne passe du courant que tant que la tension du condensateur varie. Dès que $u_C$ se stabilise, le courant s'annule.

L'équation du circuit. Plaçons en série un générateur idéal de tension continue $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé, et un interrupteur que l'on ferme à l'instant $t = 0$. La loi des mailles donne à chaque instant

et en remplaçant l'intensité par son expression :

Voilà une équation différentielle : elle relie une fonction inconnue, $u_C$, à sa propre dérivée. Dans la démarche choisie ici, la solution est donnée puis vérifiée par substitution et condition initiale. C'est parfaitement rigoureux : une fonction qui satisfait l'équation et la condition initiale est bien la solution du problème.

Solution de la charge. Avec un condensateur initialement déchargé,

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = R\,C.$$

Vérifions-la, en deux points. D'abord la condition initiale : à $t = 0$, l'exponentielle vaut $1$, donc $u_C(0) = E(1 - 1) = 0$ volt — le condensateur est bien déchargé au départ. Ensuite l'équation : la dérivée de $u_C$ vaut $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt} = \dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau}$. En reportant, et comme $R\,C = \tau$ :

L'équation est satisfaite à chaque instant. La fonction proposée est donc bien la solution.

Pourquoi une exponentielle, et pas une droite ? Parce que le circuit se freine lui-même. Au départ, $u_C$ vaut zéro, toute la tension du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique, le courant est maximal : le condensateur se remplit vite. Mais plus il se remplit, plus $u_C$ monte, moins il reste de tension pour le conducteur ohmique, plus le courant faiblit — donc plus le remplissage ralentit. Un phénomène dont la vitesse est proportionnelle à ce qui reste à faire est exactement ce que décrit une fonction exponentielle. C'est la même mécanique que le refroidissement d'un café ou la décroissance radioactive, et c'est pourquoi la fonction exponentielle, rencontrée en mathématiques, réapparaît ici.

Tout le comportement du circuit tient dans un seul nombre, le produit $\tau = R\,C$, que l'on nomme constante de temps du circuit. La lettre grecque $\tau$ se lit « tau ».

C'est une durée, et cela se démontre. Un ohm est un volt par ampère, puisque $u = R\,i$ ; un farad est un coulomb par volt, puisque $q = C\,u$. Le produit vaut donc

et comme une charge est une intensité multipliée par une durée, un coulomb divisé par un ampère est bien une seconde. Cette vérification n'est pas décorative : elle rattrape la plupart des erreurs de préfixe. Une constante de temps qui sort en milliers de secondes pour un condensateur de quelques microfarads signale presque toujours une conversion oubliée.

Première lecture graphique : la tangente à l'origine. La pente de la courbe de charge à l'instant initial vaut $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}(0) = \dfrac{E}{\tau}$. Si la charge se poursuivait à cette vitesse-là sans jamais ralentir, la tension atteindrait la valeur finale $E$ au bout d'une durée exactement égale à $\tau$. Autrement dit : la tangente à la courbe à l'origine coupe l'asymptote horizontale d'ordonnée $E$ à l'instant $t = \tau$. C'est l'outil numéro un pour lire une constante de temps sur un enregistrement — on trace la tangente au départ, on trace l'horizontale de la valeur finale, on lit l'abscisse de leur intersection. Comme la charge ralentit en réalité, la courbe reste toujours en dessous de cette tangente.

Deuxième lecture graphique : le repère à $63$ %. À l'instant $t = \tau$, l'exponentielle vaut $e^{-1} \approx 0{,}368$, donc

La constante de temps est donc l'instant où la tension atteint environ $63$ % de sa valeur finale. On lit $0{,}63\,E$ sur l'axe vertical, on descend sur la courbe, on lit l'abscisse : c'est $\tau$. Les deux méthodes doivent donner le même résultat, et se contrôlent l'une l'autre.

Le repère à $5\tau$ : quand est-ce fini ? La tension tend vers $E$ sans jamais l'atteindre exactement, ce qui est mathématiquement vrai et pratiquement sans intérêt. On convient donc que la charge est terminée au bout de cinq constantes de temps : à $t = 5\tau$, l'exponentielle vaut $e^{-5} \approx 0{,}0067$, la tension a atteint plus de $99$ % de $E$. Il reste exactement la fraction $e^{-5}\approx0{,}674\%$ de l’écart initial. Pour $E=6$ V, cela représente environ40,4 mV, mesurables par certains instruments ; le critère pratique dépend donc de la précision recherchée. Voici les jalons à connaître.

La décharge. On charge le condensateur, puis on le débranche du générateur et on le relie seulement au conducteur ohmique. La loi des mailles devient $u_R + u_C = 0$, l'équation devient $R\,C\,\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt} + u_C = 0$, et la solution, avec une tension initiale $E$, est

On la vérifie de la même façon : à $t = 0$ elle vaut bien $E$, et sa dérivée vaut $-\dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau}$, si bien que $R\,C$ multiplié par cette dérivée, ajouté à $u_C$, donne zéro. La constante de temps est la même qu'à la charge : ce sont les mêmes composants. À $t = \tau$, il reste environ $37$ % de la tension initiale — et non $63$ %. La tangente à l'origine, ici, coupe l'axe des temps à l'instant $t = \tau$.

Ce qui est continu, ce qui ne l'est pas. Avec $C$ constante et un courant qui reste fini, la charge $q = C\,u_C$ ne peut pas sauter d’une valeur à une autre : il faudrait faire passer une quantité finie de charge en une durée nulle, donc un courant infini. La tension aux bornes du condensateur est donc continue : juste après la fermeture de l'interrupteur, elle vaut encore zéro. L'intensité, elle, n'a aucune raison d'être continue : elle vaut zéro avant la fermeture et, juste après, la loi des mailles avec $u_C = 0$ donne $u_R = E$, donc

L'intensité fait un saut, puis décroît selon $i(t) = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$. Placer la bonne grandeur du bon côté est l'une des trois erreurs les plus fréquentes du chapitre.

Le régime permanent. À la limite de temps long du modèle, $u_C$ ne varie plus, donc $i = 0$ : plus aucun courant ne circule, et la loi des mailles donne $u_C = E$. Un condensateur chargé se comporte, en régime permanent, comme un interrupteur ouvert. La charge stockée vaut alors $Q = C\,E$.

Ce qui règle la durée, et ce qui ne la règle pas. Doubler $R$ double $\tau$ : le courant initial est deux fois plus faible, donc le remplissage est deux fois plus lent. Doubler $C$ double aussi $\tau$ : il y a deux fois plus de charge à stocker pour atteindre la même tension. En revanche, doubler la tension $E$ du générateur ne change pas $\tau$ : la tension finale double et le courant initial double dans la même proportion, si bien que le temps nécessaire pour atteindre la même fraction de la tension finale reste identique, à $R$ et $C$ constants. Atteindre une même tension absolue donnée peut en revanche demander une durée différente lorsque $E$ change. Un composant réel peut aussi varier avec la tension ou la température.

Ce que cette leçon ne fait pas. On n'a pas résolu l'équation différentielle : on a vérifié une solution donnée, ce que le programme demande. On ne traite ni les circuits comportant une bobine, ni le régime sinusoïdal, ni l'énergie stockée par le condensateur : ces sujets relèvent d'autres parties du programme ou de l'enseignement supérieur.

Énoncé. Un circuit comporte, en série, un générateur idéal de tension continue $E = 6{,}0$ V, un conducteur ohmique de résistance $R = 10$ kΩ, un condensateur de capacité $C = 22$ µF initialement déchargé et un interrupteur, fermé à l'instant $t = 0$.

Questions. 1. Calculer la constante de temps du circuit. 2. Calculer l'intensité juste après la fermeture. 3. Au bout de quelle durée la charge peut-elle être considérée comme terminée, et quelle est sa charge à5 constantes de temps et sa valeur limite ? 4. Calculer la tension aux bornes du condensateur à l'instant $t = \tau$. 5. Dans une expérience alternative, le condensateur est initialement porté à6,0 V, puis déchargé dans le même conducteur ohmique : quelle tension reste-t-il au bout de $\tau$ ?

---

1. La constante de temps. On convertit d'abord tout en unités du système international :

Contrôle d'unité : des ohms multipliés par des farads donnent des secondes, et le résultat, un peu plus de deux dixièmes de seconde, est bien l'ordre de grandeur d'un montage de travaux pratiques.

2. L'intensité initiale. Juste après la fermeture, la tension du condensateur est continue et vaut encore zéro, donc toute la tension du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique :

C'est la valeur maximale de l'intensité dans ce circuit ; elle décroît ensuite.

3. Fin de la charge et charge stockée. La charge est considérée comme terminée au bout de cinq constantes de temps :

À cet instant, le courant est pratiquement nul et la tension du condensateur vaut pratiquement $E$. Sa charge limite vaut

À $5\tau$, la charge vaut $q(5\tau)=CE(1-e^{-5})\approx131{,}11$ µC, légèrement inférieure à la limite132 µC. Attention à l’unité : la réponse est une charge, en coulombs — pas une capacité, en farads.

4. La tension au bout d'une constante de temps. On applique la solution de la charge à $t = \tau$ :

Soit environ $63$ % des $6{,}0$ V du générateur : c'est le repère à connaître. Sur un enregistrement, on lirait $\tau$ en cherchant l'instant où la courbe passe par $3{,}79$ V, ou bien en traçant la tangente à l'origine — de pente $\dfrac{E}{\tau} = \dfrac{6{,}0}{0{,}22} \approx 27$ volts par seconde — et en repérant où elle coupe l'horizontale d'ordonnée $6{,}0$ V. Les deux constructions donnent la même abscisse, $0{,}22$ s.

5. La décharge. Les composants n'ont pas changé, donc la constante de temps non plus : $\tau = 0{,}22$ s. La tension décroît selon $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$, donc au bout de $\tau$ :

Il reste environ $37$ % de la tension initiale. Contrôle immédiat : les résultats des questions 4 et 5 doivent s'additionner pour redonner $E$, puisque $\left(1 - e^{-1}\right) + e^{-1} = 1$. Ici, $3{,}79 + 2{,}21 = 6{,}00$ V. C'est bien le cas.

Ce qu'il faut retenir de la démarche. Convertir avant de calculer ; calculer $\tau$ en premier, puisque tout en dépend ; contrôler l'unité du résultat à chaque étape ; et vérifier l'ordre de grandeur — quelques dixièmes de seconde pour la durée, moins d'un milliampère pour le courant, une centaine de microcoulombs pour la charge.

Repérez les deux lectures de la constante de temps. Sur la courbe de charge, la tangente initiale coupe l’asymptote $E$ à $\tau$ ; le repère d’environ63% conduit à la même abscisse. En décharge, il reste environ37% à $\tau$. La zone au-delà de $5\tau$ indique une convention pratique, avec un résidu de0,674% à cet instant.

Le bandeau compare le saut du courant à la continuité de la tension dans le modèle à courant fini. Le dernier graphique porte deux courbes distinctes : référence $RC$, puis $2RC$. Doubler $R$ ou doubler $C$ produit la même seconde courbe lorsque les autres paramètres restent fixes. Doubler $E$ ne change pas $\tau$, ni le temps pour atteindre la même fraction finale ; cela change la tension limite.