Diffraction et interférences : la lumière ne va pas toujours tout droit

Depuis le collège, on dessine la lumière avec des rayons : des traits droits qui traversent les lentilles, se réfléchissent sur les miroirs, s'arrêtent sur les obstacles. Ce modèle marche remarquablement bien — et il tombe en panne dans deux expériences simples, que cette leçon explique. Cadre retenu pour les calculs : lumière monochromatique dans un milieu commun, fente uniformément éclairée en phase ; pour Young, deux sources cohérentes en phase au départ, même polarisation et amplitudes égales dans la région comparée. L’écran est lointain (régime de Fraunhofer) et l’observation paraxiale. L’extinction complète suppose l’égalité des amplitudes. Toutes deux disent la même chose : la lumière est une onde, et une onde ne se comporte pas comme un projectile.

Première expérience : rétrécir une fente élargit la tache.

Prenez un faisceau laser et faites-le passer par une fente rectangulaire dont vous pouvez régler la largeur, notée $a$. Observez la tache sur un écran placé à quelques mètres. Avec une fente relativement large, l’étalement peut être peu visible selon la distance et l’éclairement ; sa largeur sur l’écran ne se déduit pas universellement de la seule largeur de la fente. Réduisez alors la fente. À partir de quelques dizaines de micromètres (µm, millionièmes de mètre), il se passe le contraire de ce que tout le monde attend : plus la fente est étroite, plus la tache s'élargit, et elle s'entoure de taches secondaires séparées par des zones sombres.

Ce phénomène s'appelle la diffraction. Il se produit aux ouvertures et aux bords des obstacles ; l’étalement devient particulièrement important lorsque leur dimension est comparable à la longueur d’onde, et il n'est pas propre à la lumière : c'est parce que le son diffracte que vous entendez quelqu'un parler derrière l'angle d'un couloir, alors que vous ne le voyez pas. La lumière visible a une longueur d'onde de quelques centaines de nanomètres (nm, milliardièmes de mètre) : des fentes fines et une distance suffisante facilitent donc son observation, alors qu'une onde sonore, dont la longueur d'onde vaut des dizaines de centimètres, diffracte sur une porte ordinaire.

La tache centrale, entre les deux premiers minima, se caractérise par le demi-angle $\theta$, l’angle entre l’axe et le premier minimum. Dans le régime lointain, $\sin\theta=\lambda/a$ ; les lobes secondaires éclairent aussi des régions hors de la tache centrale.

Diffraction par une fente de largeur $a$. $\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$, avec $\theta$ exprimé en radians et supposé petit. Sur un écran situé à la distance $D$ de la fente, la tache centrale a pour largeur

$$L \approx \frac{2\lambda D}{a}.$$

Lisez la première relation avant de la calculer : la largeur de la fente est au dénominateur. Diviser $a$ par deux double $\theta$ et double la tache. C'est exactement l'inverse de ce que dicterait l'intuition des rayons, et c'est le point que le programme veut vous faire retenir. L'idée physique est la suivante : plus on contraint latéralement une onde, plus elle s'étale au-delà. La largeur de la tache est le prix payé pour avoir voulu confiner le faisceau.

La seconde relation n'est que la première appliquée à l'écran : de chaque côté de l'axe, le bord de la tache est décalé de $D\tan\theta$, et comme l'angle est petit, $\tan\theta$ vaut pratiquement $\theta$. La largeur totale vaut donc approximativement $2D\theta$, soit $\dfrac{2\lambda D}{a}$.

Seconde expérience : deux fentes ne donnent pas deux taches.

Remplacez maintenant la fente unique par deux fentes fines parallèles et très proches, distantes de $b$, éclairées par le même laser. Le modèle des rayons prévoit deux traits lumineux sur l'écran. On observe tout autre chose : une série de franges brillantes et sombres alternées, régulièrement espacées, sur toute la zone éclairée. Ce sont des interférences.

L'explication tient en une phrase : dans le montage symétrique et l’illumination en phase retenus, les deux fentes se comportent comme deux sources cohérentes en phase au départ. En un point $M$ de l'écran arrivent donc deux ondes issues de la même vibration, mais qui n'ont pas parcouru la même distance. On appelle différence de marche l'écart entre les deux longueurs de chemin, noté $\delta$ (delta) et exprimé en mètres.

• Si les deux ondes arrivent en phase, leurs vibrations s'ajoutent et le point est brillant. C'est le cas quand la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d'onde : le retard de l'une sur l'autre correspond à un nombre entier de vibrations complètes.
• Si elles arrivent en opposition de phase, une crête rencontre un creux, les vibrations s’annulent si les amplitudes sont égales ; sinon l’intensité est minimale mais non nulle. C'est le cas quand la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d'onde plus une demi-longueur d'onde.

Conditions d'interférence. Avec $k$ un nombre entier,

$$\delta = k\,\lambda \ \Rightarrow \ \text{interférences constructives (frange brillante)},$$

$$\delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \ \Rightarrow \ \text{interférences destructives (frange sombre)}.$$

Le nombre $k$ s'appelle l'ordre de l'interférence. Dans le montage symétrique en phase, au centre de l’écran, les deux chemins sont égaux, la différence de marche est nulle : la frange centrale est brillante, d'ordre zéro.

Enfin, la géométrie du montage — que nous n'établirons pas ici — conduit à un espacement régulier des franges brillantes.

Interfrange. La distance entre deux franges brillantes voisines vaut

$$i \approx \frac{\lambda D}{b},$$

où $b$ est la distance entre les deux fentes et $D$ la distance des fentes à l'écran.

Deux lettres à ne jamais confondre. $a$ est la largeur d'une fente et gouverne la diffraction ; $b$ est la distance entre deux fentes et gouverne les interférences. Les deux se mesurent en mètres, les deux sont au dénominateur, et les deux se ressemblent dans un énoncé lu trop vite — mais elles décrivent des expériences différentes.

L'approximation des petits angles, et pourquoi elle est légitime. Les trois relations de la leçon supposent que les angles mis en jeu sont petits, et qu'on peut donc confondre l'angle, son sinus et sa tangente — à condition de l'exprimer en radians. Vérifions sur un cas typique de travaux pratiques : une fente de $80$ µm éclairée à $633$ nm donne

soit un peu moins d'un demi-degré. La tangente de cet angle vaut $7{,}9127 \times 10^{-3}$ : l'écart relatif avec l'angle lui-même est inférieur à un dix-millième, faible par rapport à la précision attendue dans l’exemple, à vérifier selon le protocole. L'approximation est donc excellente — mais elle a deux conditions à surveiller. Il faut que la fente reste grande devant la longueur d'onde, sans quoi l'angle cesse d'être petit ; et il faut travailler en radians, car l’approximation numérique angle/tangente nécessite une mesure de l’angle en radians.

Ce que dit chaque relation quand on change un paramètre. Il ne suffit pas de savoir calculer : il faut savoir prédire.

Les deux dernières lignes méritent qu'on s'y arrête. L'interfrange ne dépend pas de la largeur des fentes, et la tache de diffraction ne dépend pas de leur écartement : ce sont deux phénomènes distincts, réglés par deux longueurs différentes. Retenez aussi la comparaison des couleurs : à montage identique, un laser rouge donne une tache plus large et des franges plus espacées qu'un laser bleu, simplement parce que sa longueur d'onde est plus grande.

Différence de marche et déphasage : deux grandeurs, deux unités. La différence de marche $\delta$ est une longueur, en mètres — l'écart entre deux distances parcourues. Le déphasage est un angle, sans dimension, qui mesure le décalage entre deux vibrations. Les deux sont liés, mais ce ne sont pas les mêmes objets, et les confondre conduit à écrire des égalités entre une longueur et un angle. Ce qu'il faut retenir pour le lycée est plus simple : dans le montage en phase et à amplitudes égales, c’est le rapport $\dfrac{\delta}{\lambda}$ qui décide. Ce rapport est un nombre sans unité, et il suffit de regarder ce qu'il vaut.

• Un entier — $0$, $1$, $2$, $3$… — signifie que le retard de l'une des ondes sur l'autre correspond à un nombre entier de vibrations complètes : les deux ondes se retrouvent en phase, les interférences sont constructives, le point est brillant, et l'entier trouvé est l'ordre de la frange.
• Un demi-entier — $0{,}5$, $1{,}5$, $2{,}5$… — signifie une demi-vibration de décalage : les ondes sont en opposition de phase, les interférences sont destructives, le point est sombre.
• Une valeur intermédiaire correspond à un point d'éclairement intermédiaire, ni maximal ni nul. Le programme ne demande pas de le calculer.

Ce rapport se calcule sans aucune conversion dès lors que $\delta$ et $\lambda$ sont dans la même unité — le plus souvent le nanomètre.

Mesurer proprement en travaux pratiques. Entre la première et la onzième frange brillante, il y a dix interfranges. Mesurer cette distance puis diviser par dix réduit d’un facteur dix la contribution d’une même incertitude absolue sur les deux extrémités ; cela ne réduit pas automatiquement les erreurs d’échelle, d’alignement ou de repérage. La mesure d’une tache peut permettre d’estimer une largeur $a\approx2\lambda D/L$ ; sa précision dépend des incertitudes sur toutes les grandeurs et de la validité du modèle.

Diffraction et interférences ensemble. Chaque fente diffracte ; son enveloppe module les franges d’interférence. La tache centrale n’est pas toute la zone éclairée : des lobes secondaires subsistent. L’éclairement n’est donc pas une fonction strictement décroissante de la distance au centre. Le calcul détaillé des intensités est hors du périmètre choisi ici.

Périmètre choisi. Nous exploitons les relations approchées sans établir le profil détaillé d’intensité. Les réseaux, ouvertures circulaires et conditions générales de cohérence ne sont pas développés ; cela décrit cette progression locale, pas une interdiction universelle au lycée.

Énoncé. On travaille dans les hypothèses monochromatiques, cohérentes, en phase et paraxiales annoncées, avec amplitudes égales. On dispose d'un laser hélium-néon de longueur d'onde $\lambda = 633$ nm et d'un écran placé à $D = 2{,}0$ m.

Première partie — interférences. On éclaire deux fentes fines parallèles distantes de $b = 0{,}30$ mm. 1. Calculer l'interfrange. 2. Quelle distance sépare la première de la onzième frange brillante ? 3. On remplace le laser par un pointeur vert de longueur d'onde $532$ nm : que devient l'interfrange ?

Seconde partie — diffraction. On remplace les deux fentes par une fente unique de largeur $a = 80$ µm. 4. Calculer le demi-angle de diffraction et la largeur de la tache centrale. 5. On réduit la largeur de la fente à $40$ µm : que devient la tache ? 6. En un point $M$ de la figure d'interférences de la première partie, la différence de marche vaut $\delta = 1899$ nm. Ce point est-il brillant ou sombre ?

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1. L'interfrange. On convertit tout en unités du système international :

Contrôle : des mètres multipliés par des mètres et divisés par des mètres donnent bien des mètres, et quelques millimètres est exactement l'ordre de grandeur d'un interfrange mesurable au réglet.

2. Dix interfranges. Entre la première et la onzième frange brillante, il y a dix intervalles, pas onze :

C'est cette longueur que l'on mesure en travaux pratiques, avant de diviser par dix.

3. Avec le laser vert. Seule la longueur d'onde change :

L'interfrange a diminué, dans le rapport des longueurs d'onde : $\dfrac{532}{633} \approx 0{,}84$, et $\dfrac{3{,}55}{4{,}22} \approx 0{,}84$ également. Le vert, de plus courte longueur d'onde que le rouge, donne des franges plus serrées.

4. La diffraction. Avec $a = 80$ µm $= 80 \times 10^{-6} = 8{,}0 \times 10^{-5}$ m :

L'angle est bien petit, l'approximation est légitime. La tache centrale mesure alors

Prenons la mesure de ce résultat : une fente de huit centièmes de millimètre produit, à deux mètres, une tache de plus de trois centimètres — quatre cents fois plus large que la fente. Le modèle des rayons prévoyait une tache de $80$ µm.

5. Fente deux fois plus étroite. La largeur de la fente est au dénominateur : la diviser par deux double la tache.

C'est le résultat contre-intuitif du chapitre, et il se lit directement dans la relation : plus on serre la fente, plus la lumière s'étale.

6. Le point $M$. On compare la différence de marche à la longueur d'onde, toutes deux en nanomètres, donc sans aucune conversion :

Le rapport est un entier : la différence de marche vaut exactement trois longueurs d'onde, les deux ondes arrivent en phase au point $M$, les interférences y sont constructives. Le point est brillant, et c'est la frange d'ordre trois. Si le rapport avait valu $3{,}5$, le point aurait été sombre.

Le réflexe de la leçon. Convertir tout en mètres avant de calculer une longueur, sauf pour le rapport de deux longueurs d'onde qui se calcule tel quel ; vérifier que l'angle obtenu est petit ; et confronter le résultat à l'ordre de grandeur attendu — quelques millimètres pour un interfrange, une largeur à comparer aux paramètres fournis : jusqu’à19,5 cm dans les plages annoncées.

Lisez les six parties de la figure existante. En haut, le montage à une fente illustre la largeur a, le premier minimum à l’angle θ et la tache centrale L. Les traits obliques encadrent cette tache, pas toute lumière diffractée. Des lobes secondaires subsistent. Le dessin exagère l’angle à11° au lieu d’environ0,45° ; la rupture d’échelle de D est signalée. Les deux vignettes comparent80 et40 µm donnant32 et63 mm.

Au milieu, les deux sources cohérentes donnent des lieux d’ordre entier ou demi-entier. Le dessin utilise λ/b=1/3, très différent du montage de laboratoire ; les hyperboles ne sont donc pas une photographie à l’échelle. À droite, onze franges espacées de4,22 mm encadrent dix intervalles.

En bas, repérez les deux chemins et leur différence, puis le critère δ/λ sous les hypothèses de phase et d’amplitudes annoncées. La comparaison rouge/bleu garde le montage fixe ; l’enveloppe de diffraction module les franges, avec des lobes secondaires au-delà des premiers minima.