Énergie interne et transferts thermiques : ce qui est stocké, ce qui passe

Un verre d'eau chaude posé sur la table ne bouge pas et ne tombe pas : son énergie cinétique est nulle, son énergie potentielle de pesanteur ne change pas. Son énergie mécanique est donc constante, et pourtant ce verre peut réchauffer tes mains, faire fondre un glaçon, dilater un thermomètre. Il possède une énergie que la mécanique ne voit pas.

L'énergie interne. À l'intérieur du verre, les molécules s'agitent sans cesse et s'attirent les unes les autres. Chacune possède une énergie cinétique, et chaque couple de molécules voisines une énergie potentielle d'interaction. La somme de toutes ces énergies microscopiques est l'énergie interne du système, notée $U$, et elle se mesure en joules comme toute énergie.

Énergie interne. $U$ est l'énergie que le système possède du fait de l'agitation et des interactions de ses constituants microscopiques. Elle ne dépend pas du mouvement d'ensemble du système ni de son altitude : un verre d'eau chaude sur la table et le même verre transporté dans un train ont la même énergie interne.

L'important n'est pas la valeur de $U$ — on ne sait pas la mesurer directement, et on n'en a pas besoin — mais sa variation $\Delta U = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}$, qui, elle, se calcule.

Température et énergie interne : voisines, pas identiques. Élever la température d'un corps, c'est augmenter son énergie interne ; mais deux corps à la même température n'ont pas la même énergie interne. Une tasse d'eau à $80$ °C et une baignoire d'eau à $80$ °C sont à la même température, et pourtant la baignoire contient bien plus d'énergie : il y a bien plus de molécules à agiter. La température dit à quel point ça s'agite ; l'énergie interne dit combien d'énergie il y a en tout.

Le problème du mot « chaleur ». Dans la langue courante, on dit qu'un corps « contient de la chaleur ». En physique, c'est faux, et cette phrase est la source d'une grande partie des erreurs du chapitre. Un corps contient de l'énergie interne ; la chaleur, elle, n'est pas dans le corps, c'est ce qui passe d'un corps à l'autre quand leurs températures diffèrent.

Transfert thermique. Le transfert thermique $Q$, en joules, est une quantité d'énergie échangée entre un système et son milieu extérieur, du fait d'une différence de température. Ce n'est pas une propriété du système : on ne peut pas demander « combien de $Q$ y a-t-il dans ce verre ? », seulement « combien de $Q$ a-t-il reçu entre le début et la fin ? ».

La distinction est la même qu'entre le solde d'un compte bancaire et un virement. Le solde, c'est l'énergie interne : il caractérise le compte à un instant. Le virement, c'est le transfert thermique : il existe pendant l'opération, il ne se conserve pas dans le compte, et il porte un signe.

La convention de signe, une fois pour toutes. Puisque l'énergie peut aller dans les deux sens, il faut choisir un point de vue. Le programme, comme tous les énoncés de cette plateforme, adopte celui du système :

Convention. Le transfert thermique $Q$ reçu par le système est compté positivement ; celui qu'il cède au milieu extérieur est compté négativement.

Un corps qui se réchauffe reçoit de l'énergie : $Q > 0$. Un corps qui se refroidit en cède : $Q < 0$. Le signe n'est pas un ornement, il fait partie de la réponse : écrire $Q = 15\ 000$ J pour un café qui refroidit, c'est dire l'inverse de ce qui se passe.

Combien faut-il d'énergie pour chauffer un corps ? L'expérience répond : la quantité d'énergie nécessaire est proportionnelle à la masse et à l'élévation de température, et dépend de la matière.

Transfert thermique et variation de température. Pour un corps de masse $m$ qui passe de la température $\theta_i$ à la température $\theta_f$ sans changer d'état, le transfert thermique reçu vaut $Q = m\,c\,(\theta_f - \theta_i)$, où $c$ est la capacité thermique massique du corps, en J·kg⁻¹·K⁻¹.

La capacité thermique massique est l'énergie qu'il faut fournir à un kilogramme de la substance pour élever sa température de un kelvin. Celle de l'eau vaut $4185$ J·kg⁻¹·K⁻¹, celle du cuivre $385$ J·kg⁻¹·K⁻¹ : il faut près de onze fois plus d'énergie pour chauffer un kilogramme d'eau qu'un kilogramme de cuivre. L'eau est un remarquable réservoir d'énergie, et c'est pourquoi les mers tempèrent les climats et pourquoi les radiateurs à eau existent. Ces valeurs sont toujours données dans les énoncés.

Un détail qui évite une faute. Dans la relation, ce qui compte est un écart de température. Or un écart vaut le même nombre en kelvins et en degrés Celsius, puisque les deux échelles ont le même pas : passer de $20$ °C à $80$ °C, c'est $60$ °C d'écart, et aussi $60$ K. On peut donc laisser les températures en degrés Celsius dans $Q = m\,c\,(\theta_f - \theta_i)$ — contrairement à l'équation du gaz parfait, où c'est une température, et non un écart, qui intervient.

Trois façons de transférer de l'énergie thermique. Le programme en distingue trois, et un énoncé demande souvent laquelle domine dans une scène donnée.

• La conduction : l'énergie se propage de proche en proche dans la matière, sans déplacement d'ensemble. Le manche métallique d'une casserole devient brûlant alors que seul le fond est chauffé ; une cuillère plongée dans une soupe chaude s'échauffe sur toute sa longueur. Les métaux conduisent très bien, le bois et l'air très mal.
• La convection : c'est le fluide lui-même qui se déplace et emporte l'énergie. L'air chauffé par un radiateur monte et réchauffe la pièce ; l'eau d'une casserole chauffée par le fond se met en mouvement et s'échauffe dans tout son volume. La convection n'existe que dans les fluides, liquides ou gaz.
• Le rayonnement : l'énergie voyage sous forme d'ondes électromagnétiques, et n'a besoin d'aucun support matériel. L'énergie du Soleil traverse le vide pour parvenir à la Terre ; on sent la chaleur d'un feu sur le visage sans toucher les flammes.

Pourquoi le métal semble plus froid que le bois. Pose une main sur une table en bois et l'autre sur son pied métallique, dans la même pièce : le métal paraît nettement plus froid. Pourtant, les deux objets sont à la même température, celle de la pièce — un thermomètre le confirme. Ce que ta peau perçoit n'est pas une température, c'est la vitesse à laquelle elle perd de l'énergie. Le métal, excellent conducteur, évacue rapidement l'énergie de ta main ; le bois, mauvais conducteur, la laisse presque sur place. La sensation renseigne sur la conduction, pas sur la température. C'est un bon exemple de ce que la physique fait de mieux : expliquer pourquoi une impression sincère est trompeuse.

Le bilan d'énergie dans un système isolé. Plonge un bloc de métal chaud dans l'eau froide d'un calorimètre — un récipient isolé, dont on néglige la capacité thermique. Le système formé par le bloc et l'eau n'échange rien avec l'extérieur : toute l'énergie que l'un cède, l'autre la reçoit. Avec la convention de signe, cela s'écrit simplement :

En remplaçant chaque transfert par son expression, avec une même température finale $\theta_f$ pour les deux corps devenus en équilibre :

Cette expression est une moyenne des deux températures initiales, pondérée par les produits $m\,c$. Elle donne toujours un résultat compris entre les deux températures de départ, et penché du côté du corps dont le produit $m\,c$ est le plus grand. Comme la capacité thermique massique de l'eau est dix fois celle des métaux courants, la température d'équilibre est presque toujours proche de celle de l'eau : c'est l'eau qui impose sa loi.

Chauffer prend du temps. Un appareil de chauffage transfère de l'énergie à une certaine puissance $P$, en watts, c'est-à-dire en joules par seconde. Si la puissance est constante et que toute l'énergie va au corps chauffé, l'énergie transférée pendant une durée $\Delta t$ vaut $Q = P\,\Delta t$. On en tire la durée nécessaire : $\Delta t = \dfrac{Q}{P}$. Dans la réalité, la durée est un peu plus longue, car une partie de l'énergie chauffe l'appareil lui-même et l'air alentour ; les énoncés précisent quand on néglige ces pertes.

Un corps qui refroidit ne refroidit pas régulièrement. Un café à $75$ °C dans une pièce à $20$ °C perd d'abord beaucoup d'énergie par seconde, puis de moins en moins, à mesure que l'écart avec la pièce diminue. Le refroidissement est rapide au début et lent à la fin : c'est l'expérience de tous les jours. Les énoncés te donnent l'expression qui décrit ce comportement :

où $\theta_{ext}$ est la température de la pièce, $\theta_0$ la température initiale et $\tau$ une constante de temps, en minutes, qui caractérise la vitesse du refroidissement. La bonne façon de lire cette expression est de repérer ce qui décroît : ce n'est pas la température, c'est l'écart entre l'objet et la pièce, multiplié par le facteur $e^{-t/\tau}$, qui vaut $1$ au départ et se rapproche de zéro. Après une durée $\tau$, il ne reste qu'environ $37$ % de l'écart initial ; après $3\tau$, moins de $5$ %, et l'objet est pratiquement à la température ambiante. Cette expression est fournie dans chaque énoncé qui l'utilise : tu n'as ni à l'établir, ni à la mémoriser, seulement à l'exploiter.

Ce que cette leçon ne fait pas. Elle ne traite aucun changement d'état : tous les corps considérés restent liquides ou solides, et l'énergie nécessaire pour faire fondre ou vaporiser une substance n'est pas abordée. Elle ne fait pas non plus intervenir le travail : ici, les systèmes n'échangent que de l'énergie thermique. Le bilan complet, qui réunit le travail et le transfert thermique, est l'objet de la leçon suivante.

Énoncé. Partie A. Une bouilloire de puissance $P = 2000$ W chauffe une masse $m = 1{,}5$ kg d'eau de $\theta_i = 20$ °C à $\theta_f = 80$ °C. On suppose que toute l'énergie électrique consommée est transférée à l'eau. Partie B. On plonge ensuite un bloc de cuivre de masse $m_1 = 0{,}50$ kg, sorti d'une étuve à $\theta_1 = 100$ °C, dans un calorimètre parfaitement isolé contenant $m_2 = 0{,}50$ kg d'eau à $\theta_2 = 20$ °C ; la capacité thermique du calorimètre est négligeable. Capacités thermiques massiques : $c_{\text{eau}} = 4185$ J·kg⁻¹·K⁻¹ et $c_{\text{cuivre}} = 385$ J·kg⁻¹·K⁻¹. Convention : le transfert thermique reçu par un système est compté positivement.

Questions. 1. Calculer le transfert thermique reçu par l'eau dans la bouilloire. 2. En déduire la durée de la chauffe. 3. Calculer la température finale d'équilibre dans le calorimètre. 4. Vérifier le bilan d'énergie de la partie B.

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1. L'énergie reçue par l'eau. L'eau ne change pas d'état ; on applique la relation avec un écart de température, identique en kelvins et en degrés Celsius :

soit environ $377$ kJ. Le résultat est positif : l'eau se réchauffe, elle reçoit de l'énergie. Retiens l'ordre de grandeur : quelques centaines de kilojoules pour une bouilloire, c'est-à-dire beaucoup plus que l'énergie mécanique du même litre et demi d'eau lancé à travers la pièce.

2. La durée. La bouilloire fournit cette énergie à puissance constante, donc $Q = P\,\Delta t$ :

Trois minutes environ : c'est bien ce que l'on observe. Dans la réalité, il faut un peu plus longtemps, car une partie de l'énergie chauffe la bouilloire et l'air.

3. La température d'équilibre. Le système formé par le bloc et l'eau est isolé : la somme des transferts thermiques reçus est nulle, $Q_1 + Q_2 = 0$, soit

On isole la température finale :

Le résultat est bien compris entre $20$ °C et $100$ °C, et beaucoup plus proche de la température de l'eau : le produit $m\,c$ de l'eau, $2092{,}5$ J·K⁻¹, écrase celui du cuivre, $192{,}5$ J·K⁻¹. Un bloc de métal brûlant plongé dans un demi-litre d'eau ne l'échauffe que de sept degrés environ ; c'est contre-intuitif, et c'est pourtant ce que dit le calcul.

4. Le bilan. Vérifions que les deux transferts se compensent bien.

Même valeur absolue, signes opposés : l'eau a reçu exactement ce que le cuivre a cédé. Le signe est ici la partie la plus instructive de la réponse — il dit qui donne et qui reçoit, et leur somme nulle traduit qu'aucune énergie n'a quitté le calorimètre.

Contrôle final. Les unités de $m\,c\,\Delta\theta$ sont des kilogrammes fois des joules par kilogramme et par kelvin fois des kelvins, c'est-à-dire des joules. La température d'équilibre est-elle entre les deux températures initiales ? Oui. Est-elle du côté du corps de plus grand produit $m\,c$ ? Oui. Les deux transferts sont-ils opposés ? Oui. Trois contrôles indépendants, trois réponses cohérentes.

Figure (fig.physics.internal-energy-heat, image vectorielle produite par programme, à produire) : trois panneaux et un bandeau.

• Panneau gauche — stock et virement. Deux récipients contenant de l'eau, l'un petit et l'autre grand, tous deux marqués $80$ °C, avec sous chacun une barre verticale d'énergie interne, celle du grand nettement plus haute, et la mention « même température, énergies internes différentes ». À droite du panneau, deux corps à températures différentes reliés par une flèche épaisse allant du chaud vers le froid, légendée « transfert thermique $Q$ : ce qui passe, pas ce qui est contenu », avec le signe positif du côté du corps qui reçoit et le signe négatif du côté de celui qui cède.
• Panneau central — les trois modes de transfert. Trois vignettes. Une casserole dont seul le fond est chauffé, avec l'énergie qui progresse de proche en proche jusqu'au manche : conduction. Une pièce avec un radiateur et des boucles d'air chaud qui montent puis redescendent : convection. Le Soleil et la Terre séparés par du vide, reliés par des traits ondulés : rayonnement. Sous les trois vignettes, la mention que la conduction et la convection exigent de la matière, le rayonnement non.
• Panneau droit — le calorimètre et la courbe de refroidissement. En haut, un calorimètre en coupe contenant un bloc de métal à $100$ °C et de l'eau à $20$ °C, avec deux flèches d'énergie opposées et le cartouche « $Q_1 + Q_2 = 0$ », et le résultat $\theta_f \approx 26{,}7$ °C placé sur une petite règle graduée de $20$ à $100$ °C, près de la borne basse. En bas, un graphique de la température d'un café en fonction du temps : axe horizontal en minutes, de $0$ à $60$, axe vertical en degrés Celsius, de $0$ à $80$ ; une courbe qui part de $75$ °C, descend vite puis de plus en plus lentement, et s'approche d'une droite horizontale en pointillé à $20$ °C légendée « température de la pièce » ; deux repères verticaux à $t = \tau$ et $t = 3\tau$ marquent « il reste $37$ % de l'écart » et « il reste moins de $5$ % de l'écart ».
• Bandeau du bas : la relation $Q = m\,c\,(\theta_f - \theta_i)$, la convention de signe, la valeur de la capacité thermique massique de l'eau comparée à celles du cuivre, du fer et de l'aluminium, et la relation $Q = P\,\Delta t$.

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche sépare deux idées que le langage courant confond : ce qu'un corps possède, l'énergie interne, et ce qui traverse une frontière, le transfert thermique. Le panneau central donne aux trois modes une image chacun, pour qu'une scène d'énoncé se reconnaisse d'un coup d'œil. Le panneau de droite montre deux résultats du calcul : la température d'équilibre penche du côté de l'eau, et la décroissance de la température n'est pas une droite mais une courbe qui s'aplatit.

La figure en détail : à gauche, deux récipients d'eau, l'un petit, l'autre grand, portent la même indication de quatre-vingts degrés Celsius, mais les barres d'énergie interne dessinées sous eux sont très inégales, celle du grand récipient étant beaucoup plus haute, ce qui montre que deux corps à la même température peuvent avoir des énergies internes très différentes ; à côté, deux corps de températures différentes sont reliés par une flèche épaisse dirigée du plus chaud vers le plus froid, légendée transfert thermique, avec un signe positif du côté du corps qui reçoit et un signe négatif du côté de celui qui cède. Au centre, trois vignettes illustrent les trois modes de transfert : une casserole chauffée par le fond dont le manche s'échauffe de proche en proche pour la conduction, une pièce où l'air chaud d'un radiateur monte puis redescend en boucles pour la convection, le Soleil et la Terre séparés par le vide et reliés par des traits ondulés pour le rayonnement ; une légende précise que les deux premiers modes exigent de la matière et que le troisième n'en a pas besoin. À droite, en haut, un calorimètre vu en coupe contient un bloc de métal à cent degrés Celsius et de l'eau à vingt degrés Celsius, deux flèches d'énergie opposées rappellent que la somme des transferts reçus est nulle, et la température finale d'environ vingt-six virgule sept degrés Celsius est placée sur une règle graduée de vingt à cent degrés, tout près de la borne basse ; en bas, un graphique représente la température d'un café en fonction du temps, en minutes de zéro à soixante et en degrés Celsius de zéro à quatre-vingts, la courbe partant de soixante-quinze degrés, descendant vite puis de plus en plus lentement, et s'approchant d'une droite horizontale en pointillé à vingt degrés qui figure la température de la pièce, deux repères verticaux indiquant qu'après une constante de temps il reste environ trente-sept pour cent de l'écart initial et qu'après trois constantes de temps il en reste moins de cinq pour cent.

Les unités. Énergie en joules ($1$ kJ $= 1000$ J) ; masse en kilogrammes ; capacité thermique massique en joules par kilogramme et par kelvin ; puissance en watts, c'est-à-dire en joules par seconde ; durée en secondes ($1$ min $= 60$ s). Un écart de température vaut le même nombre en kelvins et en degrés Celsius.

Les ordres de grandeur. Capacité thermique massique : eau $4185$, aluminium $897$, fer $450$, cuivre $385$, toutes en J·kg⁻¹·K⁻¹ — l'eau est de loin la plus grande des quatre. Chauffer un litre et demi d'eau de $60$ °C demande quelques centaines de kilojoules ; une bouilloire de $2000$ W met quelques minutes. Une tasse de café refroidit avec une constante de temps de l'ordre de quelques dizaines de minutes.

Ce qui n'est pas traité ici. Les changements d'état et l'énergie qu'ils mettent en jeu ; le travail, qui entre dans le bilan à la leçon suivante ; le second principe, l'entropie et les cycles thermodynamiques, qui appartiennent à l'enseignement supérieur.

1. Confondre la chaleur et la température. La température est une grandeur d'état : elle décrit le système à un instant. Le transfert thermique est une grandeur d'échange : il décrit ce qui a traversé la frontière entre deux instants. Un corps ne « contient » pas de chaleur, il contient de l'énergie interne. Traque la phrase « la chaleur du corps » dans ton brouillon et remplace-la par « l'énergie interne du corps » ou par « le transfert thermique reçu par le corps », selon ce que tu veux dire.
2. Croire qu'un objet métallique « est plus froid » qu'un objet en bois dans la même pièce. Les deux sont à la même température ; un thermomètre le montre. Le métal conduit mieux, donc il évacue plus vite l'énergie de ta main : c'est ta sensation qui varie, pas la température. Une sensation renseigne sur un débit d'énergie, pas sur une température.
3. Oublier le signe de $Q$. Reçu positif, cédé négatif — la convention est écrite dans l'énoncé. Un corps qui se refroidit a un $\theta_f - \theta_i$ négatif, donc un $Q$ négatif. Rendre une valeur positive pour un refroidissement, c'est se tromper de sens de circulation, et le nombre seul ne le dira pas.
4. Croire que deux corps à la même température ont la même énergie interne. Une tasse et une baignoire à $80$ °C sont à la même température ; la baignoire contient bien davantage d'énergie interne, parce qu'elle contient bien davantage de matière. L'énergie interne dépend de la quantité de matière, la température non.
5. Utiliser des grammes ou des tonnes dans $Q = m\,c\,\Delta\theta$. La capacité thermique massique est donnée par kilogramme : une masse en grammes donne un résultat mille fois trop petit. Vérifie l'unité de la masse avant de multiplier.
6. Se demander s'il faut convertir les températures en kelvins. Ici, non : ce qui intervient est un écart, et un écart a la même valeur dans les deux échelles. Attention à ne pas généraliser : dans l'équation du gaz parfait, c'est une température et non un écart qui intervient, et la conversion y est obligatoire.
7. Chercher une température d'équilibre hors des deux températures initiales. Elle est toujours entre les deux, et penchée du côté du corps de plus grand produit $m\,c$. Un résultat supérieur au plus chaud ou inférieur au plus froid signale une erreur de signe ou une inversion dans la formule ; recommence plutôt que de le rendre.
8. Oublier que la capacité thermique massique de l'eau écrase celle des métaux. Un bloc de métal brûlant plongé dans un demi-litre d'eau ne l'échauffe que de quelques degrés. Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est le rapport des produits $m\,c$ : environ dix contre un en faveur de l'eau, à masses égales.
9. Confondre puissance et énergie. La puissance, en watts, est une énergie par seconde. Une bouilloire de $2000$ W ne fournit pas $2000$ J, elle fournit $2000$ J chaque seconde. La confusion se voit à l'unité : si tu as répondu en watts à une question qui demandait des joules, la formule employée n'est pas la bonne.
10. Lire la loi de Newton comme si c'était la température qui décroît d'un facteur $e^{-t/\tau}$. C'est l'écart à la température ambiante qui est multiplié par ce facteur. Un café dans une pièce à $20$ °C ne descend jamais en dessous de $20$ °C, quel que soit le temps écoulé, et l'expression le dit puisqu'elle ajoute toujours $\theta_{ext}$.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de plusieurs situations : le transfert thermique reçu par un corps qui change de température sans changer d'état, avec son signe et la convention écrite dans l'énoncé ; la température d'équilibre de deux corps dans un calorimètre isolé, un bloc de métal chaud et de l'eau froide, ou deux masses d'eau ; la durée de chauffe d'une masse d'eau par un appareil de puissance donnée ; enfin, à partir de la loi de Newton fournie dans l'énoncé, la température d'un objet à un instant donné, ou l'instant auquel une température est atteinte. Les capacités thermiques massiques sont toujours données. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur la distinction entre chaleur et température, sur l'objet métallique qui semble plus froid que le bois, sur le signe du transfert thermique d'un corps qui se refroidit, sur le mode de transfert dominant dans une scène et sur l'ordre de grandeur d'une énergie de chauffage.

Énoncé type. Une masse $m = 0{,}80$ kg d'eau passe de $\theta_i = 75$ °C à $\theta_f = 25$ °C, sans changement d'état. Capacité thermique massique de l'eau : $c = 4185$ J·kg⁻¹·K⁻¹. Convention : le transfert thermique $Q$ reçu par le système est compté positivement, celui qu'il cède est compté négativement. Calculer le transfert thermique $Q$ reçu par l'eau. Répondre en joules, avec son signe.

Corrigé complet.

1. La relation. L'eau ne change pas d'état : le transfert thermique reçu vaut $Q = m\,c\,(\theta_f - \theta_i)$.

2. L'écart de température. $\theta_f - \theta_i = 25 - 75 = -50$ K. L'écart est négatif : l'eau se refroidit. Et un écart a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius, donc aucune conversion n'est nécessaire.

3. Le calcul.

Réponse : $Q = -167\,400$ J, soit environ $-167$ kJ.

4. Le sens du signe. $Q$ est négatif : l'eau cède cette énergie au milieu extérieur. La valeur absolue, $167$ kJ, est l'énergie qui est sortie ; le signe dit dans quel sens elle est sortie. Une réponse de $+167\,400$ J décrirait une eau qui se réchauffe de $25$ °C à $75$ °C — la situation inverse.

5. Écarter les réponses voisines. $-167{,}4$ J trahirait une capacité thermique massique employée en joules par gramme et par kelvin, c'est-à-dire $4{,}185$ au lieu de $4185$, avec une masse restée en kilogrammes : mille fois trop petit. Et $+167\,400$ J est la même valeur avec le mauvais signe, donc la description d'un réchauffement.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Mon écart de température est-il bien « final moins initial », avec son signe ? Ma masse est-elle en kilogrammes ? Et le signe de ma réponse raconte-t-il la bonne histoire — le corps se refroidit-il, et mon $Q$ est-il alors négatif ?