Les sept unités de base du SI : la fondation de toutes les mesures

Au collège, tu as rencontré des dizaines d'unités : le mètre, le gramme, la seconde, le volt, le newton, le degré Celsius, le litre… On pourrait croire que la physique en invente une nouvelle pour chaque grandeur. C'est exactement l'inverse.

Le Système international d'unités (le SI) repose sur sept unités de base, une par grandeur de base. Toutes les autres unités s'en déduisent par des multiplications et des divisions : on les appelle des unités dérivées.

Voici la fondation. Ces sept lignes sont à connaître : tout le reste du lycée s'appuie dessus.

Trois de ces lignes réservent une surprise.

La masse d'abord. L'unité de base est le kilogramme, pas le gramme. C'est la seule unité de base qui porte un préfixe (« kilo ») dans son nom — un accident de l'histoire, hérité du système métrique de 1795. Conséquence pratique : dans toute formule de physique, une masse s'exprime en kilogrammes.

La température ensuite. L'unité de base est le kelvin (symbole K, sans le signe degré), pas le degré Celsius. Le kelvin mesure la température absolue : son zéro, le zéro absolu, est la température la plus basse qui existe. Les deux échelles ont des graduations de même taille, seuls leurs zéros diffèrent : $0$ K correspond à $-273{,}15$ °C. On passe de l'une à l'autre par une simple addition, que nous détaillerons plus bas.

L'électricité enfin. Parmi les grandeurs électriques du collège — intensité, tension, résistance —, une seule est une grandeur de base : l'intensité de courant, en ampères. Le volt et l'ohm sont des unités dérivées.

Que fait-on des autres unités ? Le newton, le joule, le watt ne sont pas des unités de base : chacune est un assemblage des sept. Par exemple, le newton — l'unité de force — se définit à partir des lois de la mécanique et s'écrit :

L'écriture $\text{s}^{-2}$ signifie « divisé par des secondes au carré » : un exposant négatif est une division. Savoir lire et retrouver ces expressions est l'un des objectifs de la leçon — et l'outil qu'elles fournissent, le contrôle d'homogénéité, est le meilleur détecteur d'erreurs de tout le lycée.

Construire une unité dérivée. La méthode tient en une phrase : dans la relation qui définit la grandeur, on remplace chaque grandeur par son unité de base, et on effectue les calculs sur les unités comme sur des nombres.

Déroulons la chaîne des unités mécaniques, chacune s'appuyant sur la précédente.

1. La vitesse est une longueur divisée par une durée : elle s'exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ (ce qu'on lit « mètres par seconde »).

1. Le newton (force) vaut $1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ : c'est la définition donnée par la mécanique (une force est liée à une masse et à une variation de vitesse par seconde).

1. Le joule (énergie, symbole J) est l'énergie transférée lorsqu'une force de $1$ N déplace son point d'application de $1$ m dans sa propre direction : $1\ \text{J} = 1\ \text{N} \times 1\ \text{m} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. Le watt (puissance, symbole W) est un joule par seconde : $1\ \text{W} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}$.

1. Le pascal (pression, symbole Pa) est un newton par mètre carré : $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. Le volt (tension, symbole V) est un watt par ampère : $1\ \text{V} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-1}$.

Aucune de ces expressions n'est à réciter par cœur : ce qui compte, c'est de savoir les reconstruire en partant d'une relation du cours. Remarque au passage la convention d'écriture du BIPM : la masse s'écrit en tête ($\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$, et non $\text{m}^{2}\cdot\text{kg}\cdot\text{s}^{-2}$).

L'homogénéité : à quoi servent ces expressions. Une relation entre grandeurs physiques n'est pas une égalité entre nombres : c'est une égalité entre grandeurs, donc entre unités. D'où une règle sans exception :

Une relation est homogène quand ses deux membres s'expriment avec les mêmes unités de base. Une relation non homogène est certainement fausse — aucune valeur numérique ne pourra la sauver.

Attention au sens unique de cette règle : l'homogénéité ne prouve pas qu'une relation est juste (un coefficient oublié, comme le $\frac{1}{2}$ de l'énergie cinétique, ne se voit pas — il n'a pas d'unité). Elle prouve seulement qu'une relation qui ne la respecte pas est fausse. C'est déjà énorme : au brouillon, trente secondes de contrôle d'homogénéité éliminent la plupart des formules mal mémorisées.

Exemple de contrôle. Un élève hésite entre $d = v \times t$ et $d = \dfrac{v}{t}$ pour une distance parcourue à vitesse constante. À gauche : des mètres. À droite, première version : $\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \times \text{s} = \text{m}$ — homogène. Seconde version : $\text{m}\cdot\text{s}^{-1} / \text{s} = \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ — des mètres par seconde carrée, ce n'est pas une longueur. La seconde version est fausse, sans qu'on ait calculé quoi que ce soit.

Le kelvin en pratique. Les graduations des échelles Celsius et kelvin ont la même taille ; seul le zéro change. Si $\theta$ est la température en degrés Celsius et $T$ la température absolue en kelvins :

Ainsi, $25{,}0$ °C correspondent à $T = 25{,}0 + 273{,}15 = 298{,}15$ K, et le zéro absolu, $T = 0$ K, correspond à $\theta = -273{,}15$ °C. Deux conséquences : une température absolue n'est jamais négative, et le décalage vaut $273{,}15$ exactement — arrondir à $273$ déplace le résultat.

Pourquoi « thermodynamique » ? Le kelvin mesure la température telle que la définit la physique : une grandeur liée à l'agitation des particules, nulle quand cette agitation est minimale. Le degré Celsius reste parfaitement autorisé au quotidien et dans les énoncés ; mais dès qu'une formule attend une température — tu le verras avec les gaz en terminale —, c'est la température absolue en kelvins qu'il faut lui donner.

Culture : d'où viennent les sept unités ? Depuis 2019, plus aucune n'est définie par un objet matériel. Le kilogramme étalon en platine, conservé à Sèvres depuis 1889, a pris sa retraite : chaque unité est désormais définie à partir de constantes de la physique (la vitesse de la lumière pour le mètre, la constante de Planck pour le kilogramme…), fixées une fois pour toutes par la Conférence générale des poids et mesures de 2018. Une définition fondée sur une constante universelle est reproductible dans n'importe quel laboratoire du monde — un objet, lui, peut s'user.

Énoncé. Dans un devoir, un élève écrit deux choses :

1. « L'énergie s'exprime en joules, et $1$ J $= 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$. »

1. « L'énergie cinétique d'un mobile vaut $E_c = \dfrac{1}{2}\,m\,v$. »

Question 1. Justifier l'expression du joule en unités de base, en partant de relations du cours.

Question 2. La formule d'énergie cinétique proposée est-elle homogène ? Conclure.

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Question 1 — reconstruire le joule.

1. Partir d'une relation qui définit la grandeur. L'énergie potentielle de pesanteur en fournit une, vue en 3e : $E_{pp} = m \times g \times h$, avec la masse $m$ en kilogrammes, l'intensité de la pesanteur $g$ en newtons par kilogramme et la hauteur $h$ en mètres.

2. Exprimer chaque facteur en unités de base. Le newton vaut $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$, donc $g$, en newtons par kilogramme, s'exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ : le kilogramme du newton se simplifie avec celui du dénominateur.

3. Multiplier les unités comme des nombres.

Le joule s'exprime bien en $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$ : l'élève a raison sur ce point.

4. Contrôler par un autre chemin. Le joule est aussi un newton multiplié par un mètre (une force de $1$ N qui déplace son point d'application de $1$ m) : $(\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}) \times \text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$. Les deux chemins donnent la même expression — bon signe : une unité dérivée ne dépend pas de la relation choisie pour la reconstruire.

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Question 2 — juger la formule par l'homogénéité.

1. Écrire ce que doit valoir le membre de gauche. $E_c$ est une énergie : en unités de base, $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$ d'après la question 1.

2. Exprimer le membre de droite. Le coefficient $\dfrac{1}{2}$ est un nombre pur : il n'a pas d'unité et ne compte pas dans le bilan. Reste $m \times v$ :

3. Comparer. À gauche $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$, à droite $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : il manque un facteur $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ — précisément l'unité d'une vitesse.

La relation $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v$ n'est pas homogène : elle est fausse. La formule correcte, $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^{2}$, porte la vitesse au carré, et le contrôle le confirme : $\text{kg} \times (\text{m}\cdot\text{s}^{-1})^{2} = \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$.

4. Retenir la méthode. L'homogénéité a détecté l'erreur sans aucun calcul numérique, et elle a même indiqué ce qui manquait. C'est ce réflexe — pas la récitation des sept unités — qui fait la valeur de cette leçon.

Figure (fig.physics.si-base-units, SVG programmatique à produire) : un bâtiment schématique à deux niveaux, complété à droite par un double thermomètre.

• Niveau du bas — la fondation. Sept blocs rectangulaires identiques, alignés, formant le soubassement du bâtiment. Chaque bloc porte, sur deux lignes, le symbole en grand (m, kg, s, A, K, mol, cd) et la grandeur en petit (longueur, masse, durée, intensité de courant, température, quantité de matière, intensité lumineuse). Le bloc « kg » porte un liseré distinctif et une note en dessous : « la seule unité de base à préfixe ».
• Niveau du haut — les unités dérivées. Cinq blocs posés sur la fondation : N, J, W, Pa, V. De chaque bloc dérivé partent des traits fins qui plongent vers les blocs de base dont il est fait ; le long de chaque trait, l'exposant. Pour le newton : un trait vers kg (exposant $1$), un vers m ($1$), un vers s ($-2$), et l'étiquette $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ sous le bloc. Le bloc J est relié au bloc N par une flèche horizontale marquée « $\times$ m » : on lit que les étages se construisent aussi l'un sur l'autre.
• Encart de droite — les deux échelles de température. Deux thermomètres verticaux côte à côte, gradués face à face : à gauche l'échelle Celsius, à droite l'échelle kelvin. Trois lignes horizontales traversent les deux : le zéro absolu ($-273{,}15$ °C et $0$ K), la fusion de la glace ($0$ °C et $273{,}15$ K), une température ambiante ($25$ °C et $298{,}15$ K). Une accolade verticale entre les deux tubes porte la relation $T = \theta + 273{,}15$. Sous le zéro absolu, la zone est hachurée et barrée : rien n'existe en dessous.

Ce qu'il faut lire. Le bâtiment se lit de bas en haut : sept blocs porteurs, et tout le reste posé dessus — le newton n'est pas une huitième unité de base, c'est un assemblage des trois premières. Les traits d'exposants se lisent comme un contrôle d'homogénéité en image : suivre les traits d'un bloc dérivé, c'est reconstruire son expression. Le double thermomètre, lui, montre que les deux échelles de température glissent l'une sur l'autre sans se déformer : mêmes graduations, zéros décalés de $273{,}15$, et un plancher absolu que l'échelle kelvin place à zéro.

Les unités. Un exposant négatif est une division : $\text{s}^{-2}$ se lit « par seconde au carré ». Un coefficient numérique ($\frac{1}{2}$, $2\pi$…) n'a pas d'unité : il est invisible au contrôle d'homogénéité — c'est la limite de la méthode.

Les symboles. Les règles d'écriture du collège restent en vigueur : pas de point final, pas de marque du pluriel, casse respectée. S'y ajoute une nuance de seconde : le kelvin s'écrit K seul — le « degré kelvin » (°K) n'existe plus depuis 1967.

Un piège d'écriture. Ne confonds pas le symbole d'une grandeur (en italique dans les formules : $m$, $t$, $I$) et le symbole d'une unité (en romain : m, s, A). Dans « $m = 3$ kg », le premier m est une masse, le second n'apparaît pas : l'unité est kg.

1. Prendre le gramme pour l'unité de base de la masse. C'est le kilogramme, préfixe compris — la seule unité de base dans ce cas. Dans une formule, une masse de $250$ g s'écrit $0{,}250$ kg ; l'oublier fausse le résultat d'un facteur $1000$. Pourquoi l'erreur est tentante : partout ailleurs, l'unité « sans préfixe » est la bonne.
2. Utiliser des degrés Celsius dans une formule qui attend des kelvins. Les deux échelles diffèrent par leur zéro : remplacer $T$ par $\theta$ décale tout de $273{,}15$. Le réflexe : dès qu'une relation contient une température $T$, convertir d'abord. Et se méfier de l'arrondi $273$ : le décalage exact est $273{,}15$.
3. Écrire une formule non homogène sans s'en apercevoir. Additionner des mètres et des secondes, égaler une énergie à un produit $m \times v$… Aucune de ces écritures ne peut être juste, et trente secondes de contrôle le montrent. Prends l'habitude, avant tout calcul, de vérifier les unités de base des deux membres — c'est le geste central de cette leçon.
4. Croire que l'homogénéité prouve qu'une formule est juste. Elle ne détecte ni un coefficient faux ($E_c = m\,v^{2}$ passe le test, à un facteur $\frac{1}{2}$ près), ni deux grandeurs de même unité échangées. Homogène signifie seulement « pas certainement fausse ».
5. Confondre le symbole de la grandeur et celui de l'unité. « I » est la grandeur intensité ; son unité est l'ampère, de symbole « A ». Écrire « une intensité de $2$ I » ne veut rien dire. Même piège avec $n$ (quantité de matière) et mol.
6. Écrire °K, ou k minuscule, pour le kelvin. Le kelvin s'écrit K : majuscule parce que Kelvin est un nom propre, sans signe degré depuis 1967. La minuscule k est déjà prise : c'est le préfixe kilo.
7. Croire que le volt ou le newton sont des unités de base. Il n'y en a que sept, et une seule est électrique (l'ampère). Toute autre unité, même très courante, est dérivée : en cas de doute, essaie de l'exprimer en unités de base — si tu y arrives, elle était dérivée.
8. Empiler les conversions au lieu de passer par les unités de base. Dans un calcul mêlant kilomètres, heures et grammes, le chemin sûr est toujours le même : tout convertir en unités de base (m, s, kg) avant d'appliquer la formule, plutôt que de « corriger » le résultat après coup.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon est un vrai/faux qui alterne deux familles : juger l'homogénéité d'une relation écrite par un élève (la relation est parfois correcte, parfois déformée — division inversée, carré perdu ou ajouté), et vérifier une conversion de température entre degrés Celsius et kelvins proposée par un élève. Dans les deux cas, le verdict se calcule, il ne se devine pas. Un questionnaire à choix multiples voisin fait travailler la restitution : unité de base d'une grandeur, grandeur d'une unité, expression d'une unité dérivée, écriture d'un symbole.

Énoncé type. Un élève écrit la relation suivante pour calculer la masse volumique d'un corps :

Cette relation est-elle homogène ?

Corrigé complet.

1. Rappeler ce qu'on vérifie. Une relation est homogène quand ses deux membres s'expriment avec les mêmes unités de base. Si ce n'est pas le cas, la relation est fausse à coup sûr.

2. Exprimer le membre de gauche. La masse volumique est une masse divisée par un volume : elle s'exprime en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

3. Exprimer le membre de droite. Le produit $m \times V$ s'exprime en $\text{kg} \times \text{m}^{3} = \text{kg}\cdot\text{m}^{3}$.

4. Comparer. À gauche, l'exposant du mètre vaut $-3$ ; à droite, $+3$. Les deux membres ne portent pas les mêmes unités de base.

La relation n'est pas homogène : elle est fausse. (L'élève a multiplié au lieu de diviser — la relation correcte est $\rho = \dfrac{m}{V}$, dont le membre de droite s'exprime bien en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$.)

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je exprimé les deux membres, et pas seulement celui de droite ? Ai-je traité chaque division comme un exposant négatif ? Et si la relation est homogène, ai-je pensé à préciser que cela ne prouve pas qu'elle est juste ?