Les sept unités de base du SI : la fondation de toutes les mesures

Au collège, vous avez rencontré des dizaines d'unités : le mètre, le gramme, la seconde, le volt, le newton, le degré Celsius, le litre… On pourrait croire que la physique en invente une nouvelle pour chaque grandeur. C'est exactement l'inverse.

Le Système international d'unités (le SI) repose sur sept unités de base, une par grandeur de base. Les unités SI dérivées cohérentes se construisent par des produits de puissances de ces unités de base, sans facteur numérique supplémentaire. D’autres unités usuelles, comme le litre ou l’heure, demandent aussi un facteur de conversion.

Voici la fondation. Ces sept lignes sont à connaître : tout le reste du lycée s'appuie dessus.

Trois de ces lignes réservent une surprise.

La masse d'abord. L'unité de base est le kilogramme, pas le gramme. C'est la seule unité de base qui porte un préfixe (« kilo ») dans son nom — un accident de l'histoire, hérité du système métrique de 1795. Conséquence pratique : dans les calculs en unités SI cohérentes de cette leçon, la masse s’exprime en kilogrammes. Une formule peut aussi être utilisée dans un autre jeu d’unités, à condition de respecter toutes ses conversions et constantes.

La température ensuite. L'unité de base est le kelvin (symbole K, sans le signe degré), pas le degré Celsius. Le kelvin mesure la température absolue : son zéro, le zéro absolu, est la température la plus basse qui existe. Les deux échelles ont des graduations de même taille, seuls leurs zéros diffèrent : $0$ K correspond à $-273{,}15$ °C. On passe de l'une à l'autre par une simple addition, que nous détaillerons plus bas.

L'électricité enfin. Parmi les grandeurs électriques du collège — intensité, tension, résistance —, une seule est une grandeur de base : l'intensité de courant, en ampères. Le volt et l'ohm sont des unités dérivées.

Que fait-on des autres unités ? Le newton, le joule, le watt ne sont pas des unités de base : chacune est un assemblage des sept. Par exemple, le newton — l'unité de force — se définit à partir des lois de la mécanique et s'écrit :

L'écriture $\text{s}^{-2}$ signifie « divisé par des secondes au carré » : un exposant négatif est une division. Savoir lire et retrouver ces expressions est l'un des objectifs de la leçon — et l'outil qu'elles fournissent, le contrôle d'homogénéité, est le meilleur détecteur d'erreurs de tout le lycée.

Construire une unité dérivée. La méthode tient en une phrase : dans la relation qui définit la grandeur, on remplace chaque grandeur par son unité de base, et on effectue les calculs sur les unités comme sur des nombres.

Déroulons la chaîne des unités mécaniques, chacune s'appuyant sur la précédente.

1. La vitesse est une longueur divisée par une durée : elle s'exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ (ce qu'on lit « mètres par seconde »).

1. Le newton (force) vaut $1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ : c'est la définition donnée par la mécanique (une force est liée à une masse et à une variation de vitesse par seconde).

1. Le joule (énergie, symbole J) est l'énergie transférée lorsqu'une force de $1$ N déplace son point d'application de $1$ m dans sa propre direction : $1\ \text{J} = 1\ \text{N} \times 1\ \text{m} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. Le watt (puissance, symbole W) est un joule par seconde : $1\ \text{W} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}$.

1. Le pascal (pression, symbole Pa) est un newton par mètre carré : $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. Le volt (tension, symbole V) est un watt par ampère : $1\ \text{V} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-1}$.

Aucune de ces expressions n'est à réciter par cœur : ce qui compte, c'est de savoir les reconstruire en partant d'une relation du cours. Remarquez la convention de présentation du tableau du BIPM, avec kg en tête. L’ordre des facteurs peut être changé sans modifier le produit : $\text{m}^{2}\cdot\text{kg}\cdot\text{s}^{-2}$ représente exactement la même unité que $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$.

L'homogénéité : à quoi servent ces expressions. Une relation entre grandeurs physiques n'est pas une égalité entre nombres : c'est une égalité entre grandeurs, donc entre unités. D'où une règle sans exception :

Une relation est homogène quand ses deux membres ont les mêmes dimensions physiques ; pour le vérifier ici, on exprime les deux côtés en unités SI de base cohérentes. Une relation non homogène est certainement fausse — aucune valeur numérique ne pourra la sauver.

Attention au sens unique de cette règle : l'homogénéité ne prouve pas qu'une relation est juste (un coefficient oublié, comme le $\frac{1}{2}$ de l'énergie cinétique, ne se voit pas — il n'a pas d'unité). Elle prouve seulement qu'une relation qui ne la respecte pas est fausse. C'est déjà énorme : au brouillon, trente secondes de contrôle d'homogénéité éliminent la plupart des formules mal mémorisées.

Exemple de contrôle. Un élève hésite entre $d = v \times t$ et $d = \dfrac{v}{t}$ pour une distance parcourue à vitesse constante. À gauche : des mètres. À droite, première version : $\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \times \text{s} = \text{m}$ — homogène. Seconde version : $\text{m}\cdot\text{s}^{-1} / \text{s} = \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ — des mètres par seconde carrée, ce n'est pas une longueur. La seconde version est fausse, sans qu'on ait calculé quoi que ce soit.

Le kelvin en pratique. Les graduations des échelles Celsius et kelvin ont la même taille ; seul le zéro change. Si $\theta$ est la température en degrés Celsius et $T$ la température absolue en kelvins :

Numériquement, $25{,}0 + 273{,}15 = 298{,}15$. Le décalage de conversion est exact ; pour présenter une température mesurée à 0,1 °C près, on conserve un rang compatible et on annonce 298,2 K, et le zéro absolu, $T = 0$ K, correspond à $\theta = -273{,}15$ °C. Deux conséquences : dans les systèmes usuels d’équilibre thermodynamique étudiés ici, la température absolue est positive ou nulle, et le décalage vaut $273{,}15$ exactement — arrondir à $273$ déplace le résultat.

Pourquoi « thermodynamique » ? Le kelvin mesure la température telle que la définit la physique : une grandeur liée à l'agitation des particules, nulle quand cette agitation est minimale. Le degré Celsius reste parfaitement autorisé au quotidien et dans les énoncés ; si une formule attend la température thermodynamique T, comme la loi des gaz parfaits en unités SI, il faut fournir sa valeur en kelvins. D’autres relations peuvent utiliser explicitement une température Celsius ou une différence de température ; un intervalle de 1 °C vaut 1 K.

Culture : d'où viennent les sept unités ? Depuis 2019, plus aucune n'est définie par un objet matériel. Le kilogramme étalon en platine, conservé à Sèvres depuis 1889, a pris sa retraite : chaque unité est désormais définie à partir de constantes de la physique (la vitesse de la lumière pour le mètre, la constante de Planck pour le kilogramme…), fixées une fois pour toutes par la Conférence générale des poids et mesures de 2018. Une définition fondée sur une constante universelle est reproductible dans n'importe quel laboratoire du monde — un objet, lui, peut s'user.

Énoncé. Dans un devoir, un élève écrit deux choses :

1. « L'énergie s'exprime en joules, et $1$ J $= 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$. »

1. « L'énergie cinétique d'un mobile vaut $E_c = \dfrac{1}{2}\,m\,v$. »

Question 1. Justifier l'expression du joule en unités de base, en partant de relations du cours.

Question 2. La formule d'énergie cinétique proposée est-elle homogène ? Conclure.

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Question 1 — reconstruire le joule.

1. Partir d'une relation qui définit la grandeur. On donne ici la relation de l’énergie potentielle de pesanteur près du sol, avec g uniforme et une référence de hauteur fixée : $E_{pp} = m \times g \times h$, avec la masse $m$ en kilogrammes, l'intensité de la pesanteur $g$ en newtons par kilogramme et la hauteur $h$ en mètres.

2. Exprimer chaque facteur en unités de base. Le newton vaut $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$, donc $g$, en newtons par kilogramme, s'exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ : le kilogramme du newton se simplifie avec celui du dénominateur.

3. Multiplier les unités comme des nombres.

Le joule s'exprime bien en $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$ : l'élève a raison sur ce point.

4. Contrôler par un autre chemin. Le joule est aussi un newton multiplié par un mètre (une force de $1$ N qui déplace son point d'application de $1$ m) : $(\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}) \times \text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$. Les deux chemins donnent la même expression — bon signe : une unité dérivée ne dépend pas de la relation choisie pour la reconstruire.

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Question 2 — juger la formule par l'homogénéité.

1. Écrire ce que doit valoir le membre de gauche. $E_c$ est une énergie : en unités de base, $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$ d'après la question 1.

2. Exprimer le membre de droite. Le coefficient $\dfrac{1}{2}$ est un nombre pur : il n'a pas d'unité et ne compte pas dans le bilan. Reste $m \times v$ :

3. Comparer. À gauche $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$, à droite $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : il manque un facteur $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ — précisément l'unité d'une vitesse.

La relation $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v$ n'est pas homogène : elle est fausse. La formule correcte, $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^{2}$, porte la vitesse au carré, et le contrôle le confirme : $\text{kg} \times (\text{m}\cdot\text{s}^{-1})^{2} = \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$.

4. Retenir la méthode. L'homogénéité a détecté l'erreur sans aucun calcul numérique, et elle a même indiqué ce qui manquait. C'est ce réflexe — pas la récitation des sept unités — qui fait la valeur de cette leçon.

Les sept blocs du bas représentent les unités SI de base ; ceux du haut montrent des unités dérivées cohérentes. Les exposants des liaisons permettent de reconstruire, par exemple, le newton en kg·m·s⁻² puis le joule en kg·m²·s⁻². L’ordre des facteurs ne change pas le produit.

Les deux échelles de température ont des intervalles de même taille et des zéros décalés de 273,15. La correspondance numérique 25 °C ↔ 298,15 K utilise le décalage exact ; si une température est donnée comme mesure à 0,1 °C près, sa présentation en kelvins conserve ce rang, soit 298,2 K pour 25,0 °C. Les systèmes usuels d’équilibre thermodynamique étudiés ici ont une température absolue positive ou nulle.