Réfraction et loi de Snell-Descartes : la lumière qui change de milieu

Plongez une paille dans un verre d'eau : elle paraît brisée à la surface. Observez un galet au fond d'un bassin : il n'est pas là où vous le voyez. Dans les deux cas, la lumière qui remonte vers votre œil a changé de direction en passant de l'eau à l'air. Ce changement de direction à la traversée d'une surface entre deux milieux transparents s'appelle la réfraction.

On se place dans le modèle de l’optique géométrique : milieux transparents, homogènes et isotropes, à une longueur d’onde fixée pour chaque calcul. Pour la décrire, il faut d'abord un vocabulaire précis — chaque mot servira dans la loi.

Le dioptre est la surface qui sépare les deux milieux (la surface de l'eau, la face du bloc de verre). La normale est la droite perpendiculaire au dioptre au point où le rayon le frappe, le point d'incidence. Le rayon qui arrive est le rayon incident ; celui qui repart dans le second milieu est le rayon réfracté. Et — règle absolue de toute l'optique — les angles se mesurent entre chaque rayon et la normale, jamais entre le rayon et la surface : $i_1$ est l'angle d'incidence, $i_2$ l'angle de réfraction.

Reste à caractériser les milieux. Chaque milieu transparent est décrit par un nombre sans unité, son indice de réfraction $n$ : il vaut $1$ pour le vide (et pratiquement $1{,}00$ pour l'air), et il est supérieur ou égal à 1 dans les milieux usuels étudiés pour la lumière visible — il mesure, en substance, à quel point le milieu ralentit la lumière. Quelques valeurs à savoir situer :

Plus l'indice est grand, plus le milieu est dit réfringent. La loi qui relie tout cela a été dégagée au XVIIe siècle (Snell aux Pays-Bas, Descartes en France) :

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction. Le rayon réfracté est dans le plan formé par le rayon incident et la normale, et les angles vérifient $n_1 \times \sin i_1 = n_2 \times \sin i_2$, où $n_1$ et $i_1$ se rapportent au milieu d'où vient la lumière, $n_2$ et $i_2$ au milieu où elle entre.

La loi fait apparaître le sinus des angles — celui de la trigonométrie de 3e — et c'est lui qui rend la relation exacte : les angles eux-mêmes ne sont pas proportionnels ($n_1\,i_1 = n_2\,i_2$ est une écriture fausse, même si elle donne le change aux petits angles). Une lecture qualitative suffit déjà à prévoir le sens de la déviation : en entrant dans un milieu plus réfringent ($n_2 > n_1$), le rayon se rapproche de la normale ; en entrant dans un milieu moins réfringent, il s'en écarte. Deux cas particuliers ferment le tableau : un rayon qui arrive le long de la normale ($i_1 = 0$) traverse sans dévier, et une partie de la lumière peut aussi être réfléchie par le dioptre en plus d'être réfractée — c'est pourquoi une vitrine renvoie votre reflet tout en laissant voir la boutique.

Résoudre avec la loi. Le geste est toujours le même, en trois temps : isoler le sinus inconnu, calculer sa valeur, puis remonter à l'angle par la fonction inverse du sinus (touche arcsin de la calculatrice, réglée en degrés). Pour un angle de réfraction :

La loi se lit dans les deux sens (connaître $i_2$ permet de retrouver $i_1$) et sert aussi à identifier un milieu : mesurer $i_1$ et $i_2$ donne $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2}$ — on peut comparer cet indice aux valeurs des candidats fournis, sans identifier chimiquement un matériau par ce seul nombre. Un contrôle gratuit à chaque fois : pour les milieux usuels visibles étudiés ici, un indice calculé inférieur à 1 signale une erreur, presque toujours les deux sinus échangés.

Le piège de la référence des angles. Beaucoup d'énoncés donnent l'angle entre le rayon et la surface de l'eau ou du verre. La loi, elle, ne connaît que les angles à la normale. Surface et normale étant perpendiculaires, la conversion est immédiate : les deux mesures d'un même rayon totalisent $90°$. Un rayon qui fait $55°$ avec la surface fait $90 - 55 = 35°$ avec la normale — et c'est ce $35°$ qui entre dans la loi. Le réflexe : avant tout calcul, relire l'énoncé et écrire noir sur blanc « angle à la normale : … ».

La réflexion totale. Envoyons maintenant la lumière du verre vers l'air : $n_1 = 1{,}52 > n_2 = 1{,}00$, le rayon s'écarte de la normale, donc $i_2 > i_1$. En augmentant $i_1$, l'angle réfracté grandit plus vite… jusqu'à raser la surface ($i_2 = 90°$). Au-delà, la loi n'a plus de solution : elle exigerait $\sin i_2 > 1$, ce qu'aucun angle ne réalise. Que fait la lumière ? Dans ce modèle sans absorption, il n’existe plus de rayon transmis propagatif dans le second milieu ; le rayon est entièrement réfléchi. Cette description géométrique ne signifie pas que tout champ électromagnétique est nul de l’autre côté. C'est la réflexion totale.

L'angle d'incidence charnière, appelé angle limite $i_\ell$, s'obtient en écrivant la loi au moment exact où $i_2 = 90°$, c'est-à-dire $\sin i_2 = 1$ :

Pour le passage verre → air : $\sin i_\ell = 1{,}00/1{,}52 \approx 0{,}658$, d'où $i_\ell \approx 41{,}1°$. Pour eau → air : $i_\ell \approx 48{,}8°$. Pour le diamant → air : $i_\ell \approx 24{,}4°$ seulement — presque toute la lumière entrée dans un diamant se retrouve piégée en réflexions totales successives avant de ressortir vers le haut : c'est l'origine physique de son éclat, et le tailleur calcule ses facettes pour l'exploiter.

Deux conditions, à vérifier ensemble, pour qu'une réflexion totale soit possible : la lumière doit aller vers un milieu moins réfringent ($n_2 < n_1$ — dans l'autre sens, le quotient $n_2/n_1$ dépasse 1 et aucun angle limite n'existe : le rayon réfracté existe toujours), et l'incidence doit dépasser l'angle limite. L'application majeure est la fibre optique : la lumière y avance par réflexions totales sur la paroi, ce qui guide le signal. Une fibre réelle présente toutefois des pertes : les longues liaisons demandent une gestion de l’atténuation et, selon la distance, une amplification ou régénération.

La dispersion — pourquoi le prisme fabrique un arc-en-ciel. L'indice d'un milieu dépend légèrement de la couleur de la lumière : dans le verre, le violet est un peu plus ralenti que le rouge. À la traversée d'un prisme, chaque couleur suit donc sa propre loi de Snell-Descartes, avec son propre indice : la lumière blanche, mélange de toutes, s'étale en éventail — c'est la dispersion, celle du prisme comme celle des gouttes de pluie dans l'arc-en-ciel. En seconde, on retient le phénomène et son explication qualitative ; sa mesure fine attend la suite du lycée.

Énoncé. Un rayon lumineux se propage dans l'air et atteint la face supérieure d'un bloc de verre, en faisant un angle de $55°$ avec la surface. On donne les indices : $n_1 = 1{,}00$ pour l'air et $n_2 = 1{,}52$ pour le verre.

Question 1. Calculer l'angle de réfraction $i_2$, avec 3 chiffres significatifs.

Cadre géométrique. Le trajet est dans une coupe perpendiculaire à l’arête commune des faces supérieure et verticale.

Question 2. Le rayon poursuit sa route dans le verre et atteint une face verticale du bloc. Vérifier que son angle d'incidence sur cette face vaut $67{,}8°$, puis dire s'il sort du bloc.

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Question 1 — l'entrée dans le verre.

1. Convertir l'angle vers la normale. L'énoncé donne $55°$ par rapport à la surface ; la loi exige l'angle à la normale :

C'est la conversion oubliée dans une copie sur deux — d'où sa place en tête de corrigé.

2. Écrire la loi et isoler le sinus inconnu.

3. Calculer d'un seul trait (calculatrice en degrés, sans recopier de sinus arrondi) :

L'angle de réfraction vaut environ $22{,}2°$.

4. Contrôler le sens de la déviation. Le rayon entre dans un milieu plus réfringent ($1{,}52 > 1{,}00$) : il doit se rapprocher de la normale, donc $i_2 < i_1$. On a bien $22{,}2° < 35°$ — le résultat est cohérent. Un $i_2$ plus grand que $i_1$ aurait signalé des indices échangés.

Question 2 — la sortie… qui n'a pas lieu.

1. Trouver l'incidence sur la face verticale. La normale à une face verticale est horizontale. Or le rayon réfracté fait $22{,}2°$ avec la verticale (la normale de la face supérieure) ; il fait donc $90 - 22{,}2 = 67{,}8°$ avec l'horizontale, c'est-à-dire avec la normale de la face verticale : $i_1 = 67{,}8°$. Le tracé de la figure le confirme — et c'est toujours par rapport à la normale de la face atteinte que l'angle se mesure.

2. Identifier le sens du passage. Cette fois la lumière va du verre ($n_1 = 1{,}52$) vers l'air ($n_2 = 1{,}00$) : milieu moins réfringent à l'arrivée, une réflexion totale est possible — il faut comparer l'incidence à l'angle limite.

3. Calculer l'angle limite du couple verre-air, puis comparer.

L'incidence vaut $67{,}8°$, bien au-delà de $41{,}1°$.

Le rayon ne sort pas : il subit une réflexion totale sur la face verticale et repart à l'intérieur du bloc, comme sur un miroir.

4. Vérifier par la loi elle-même. En tentant le calcul direct : $\sin i_2 = 1{,}52 \times \sin(67{,}8°) \approx 1{,}52 \times 0{,}926 \approx 1{,}41 > 1$. Aucun angle n'a un sinus supérieur à 1 : la loi n'a pas de solution, ce qui est exactement la signature de la réflexion totale. Les deux raisonnements — comparer à l'angle limite, ou constater $\sin i_2 > 1$ — concluent toujours ensemble.

Le panneau de gauche fixe la référence : les arcs de 35° et 22,2° se comptent depuis la normale ; l’angle incident de 55° depuis la surface est le complément de 35° depuis la normale, inutilisable tel quel dans Snell-Descartes.

Au centre, la traversée air-verre rapproche le rayon de la normale ; le trajet inverse l’en écarte. À droite, les incidences de 30°, de l’angle limite voisin de 41,1°, puis de 55° montrent le passage d’un rayon transmis à un rayon rasant, puis l’absence de rayon transmis propagatif dans le modèle. Le schéma de fibre illustre ce guidage géométrique, sans représenter les pertes d’une liaison réelle.