Réfraction et loi de Snell-Descartes : la lumière qui change de milieu

Plonge une paille dans un verre d'eau : elle paraît brisée à la surface. Vise un galet au fond d'un bassin : il n'est pas là où tu le vois. Dans les deux cas, la lumière qui remonte vers ton œil a changé de direction en passant de l'eau à l'air. Ce changement de direction à la traversée d'une surface entre deux milieux transparents s'appelle la réfraction.

Pour la décrire, il faut d'abord un vocabulaire précis — chaque mot servira dans la loi.

Le dioptre est la surface qui sépare les deux milieux (la surface de l'eau, la face du bloc de verre). La normale est la droite perpendiculaire au dioptre au point où le rayon le frappe, le point d'incidence. Le rayon qui arrive est le rayon incident ; celui qui repart dans le second milieu est le rayon réfracté. Et — règle absolue de toute l'optique — les angles se mesurent entre chaque rayon et la normale, jamais entre le rayon et la surface : $i_1$ est l'angle d'incidence, $i_2$ l'angle de réfraction.

Reste à caractériser les milieux. Chaque milieu transparent est décrit par un nombre sans unité, son indice de réfraction $n$ : il vaut $1$ pour le vide (et pratiquement $1{,}00$ pour l'air), et il est toujours supérieur ou égal à 1 — il mesure, en substance, à quel point le milieu ralentit la lumière. Quelques valeurs à savoir situer :

Plus l'indice est grand, plus le milieu est dit réfringent. La loi qui relie tout cela a été dégagée au XVIIe siècle (Snell aux Pays-Bas, Descartes en France) :

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction. Le rayon réfracté est dans le plan formé par le rayon incident et la normale, et les angles vérifient $n_1 \times \sin i_1 = n_2 \times \sin i_2$, où $n_1$ et $i_1$ se rapportent au milieu d'où vient la lumière, $n_2$ et $i_2$ au milieu où elle entre.

La loi fait apparaître le sinus des angles — celui de la trigonométrie de 3e — et c'est lui qui rend la relation exacte : les angles eux-mêmes ne sont pas proportionnels ($n_1\,i_1 = n_2\,i_2$ est une écriture fausse, même si elle donne le change aux petits angles). Une lecture qualitative suffit déjà à prévoir le sens de la déviation : en entrant dans un milieu plus réfringent ($n_2 > n_1$), le rayon se rapproche de la normale ; en entrant dans un milieu moins réfringent, il s'en écarte. Deux cas particuliers ferment le tableau : un rayon qui arrive le long de la normale ($i_1 = 0$) traverse sans dévier, et une partie de la lumière est toujours réfléchie par le dioptre en plus d'être réfractée — c'est pourquoi une vitrine renvoie ton reflet tout en laissant voir la boutique.

Résoudre avec la loi. Le geste est toujours le même, en trois temps : isoler le sinus inconnu, calculer sa valeur, puis remonter à l'angle par la fonction inverse du sinus (touche arcsin de la calculatrice, réglée en degrés). Pour un angle de réfraction :

La loi se lit dans les deux sens (connaître $i_2$ permet de retrouver $i_1$) et sert aussi à identifier un milieu : mesurer $i_1$ et $i_2$ donne $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2}$ — c'est une méthode de laboratoire classique pour reconnaître un verre ou un plastique. Un contrôle gratuit à chaque fois : un indice calculé inférieur à 1 signale une erreur, presque toujours les deux sinus échangés.

Le piège de la référence des angles. Beaucoup d'énoncés donnent l'angle entre le rayon et la surface de l'eau ou du verre. La loi, elle, ne connaît que les angles à la normale. Surface et normale étant perpendiculaires, la conversion est immédiate : les deux mesures d'un même rayon totalisent $90°$. Un rayon qui fait $55°$ avec la surface fait $90 - 55 = 35°$ avec la normale — et c'est ce $35°$ qui entre dans la loi. Le réflexe : avant tout calcul, relire l'énoncé et écrire noir sur blanc « angle à la normale : … ».

La réflexion totale. Envoyons maintenant la lumière du verre vers l'air : $n_1 = 1{,}52 > n_2 = 1{,}00$, le rayon s'écarte de la normale, donc $i_2 > i_1$. En augmentant $i_1$, l'angle réfracté grandit plus vite… jusqu'à raser la surface ($i_2 = 90°$). Au-delà, la loi n'a plus de solution : elle exigerait $\sin i_2 > 1$, ce qu'aucun angle ne réalise. Que fait la lumière ? Elle ne sort plus du tout : le dioptre se comporte comme un miroir parfait. C'est la réflexion totale.

L'angle d'incidence charnière, appelé angle limite $i_\ell$, s'obtient en écrivant la loi au moment exact où $i_2 = 90°$, c'est-à-dire $\sin i_2 = 1$ :

Pour le passage verre → air : $\sin i_\ell = 1{,}00/1{,}52 \approx 0{,}658$, d'où $i_\ell \approx 41{,}1°$. Pour eau → air : $i_\ell \approx 48{,}8°$. Pour le diamant → air : $i_\ell \approx 24{,}4°$ seulement — presque toute la lumière entrée dans un diamant se retrouve piégée en réflexions totales successives avant de ressortir vers le haut : c'est l'origine physique de son éclat, et le tailleur calcule ses facettes pour l'exploiter.

Deux conditions, à vérifier ensemble, pour qu'une réflexion totale soit possible : la lumière doit aller vers un milieu moins réfringent ($n_2 < n_1$ — dans l'autre sens, le quotient $n_2/n_1$ dépasse 1 et aucun angle limite n'existe : le rayon réfracté existe toujours), et l'incidence doit dépasser l'angle limite. L'application majeure est la fibre optique : la lumière y avance par réflexions totales sur la paroi, sans presque rien perdre, et transporte ainsi tes données sur des milliers de kilomètres.

La dispersion — pourquoi le prisme fabrique un arc-en-ciel. L'indice d'un milieu dépend légèrement de la couleur de la lumière : dans le verre, le violet est un peu plus ralenti que le rouge. À la traversée d'un prisme, chaque couleur suit donc sa propre loi de Snell-Descartes, avec son propre indice : la lumière blanche, mélange de toutes, s'étale en éventail — c'est la dispersion, celle du prisme comme celle des gouttes de pluie dans l'arc-en-ciel. En seconde, on retient le phénomène et son explication qualitative ; sa mesure fine attend la suite du lycée.

Énoncé. Un rayon lumineux se propage dans l'air et atteint la face supérieure d'un bloc de verre, en faisant un angle de $55°$ avec la surface. On donne les indices : $n_1 = 1{,}00$ pour l'air et $n_2 = 1{,}52$ pour le verre.

Question 1. Calculer l'angle de réfraction $i_2$, avec 3 chiffres significatifs.

Question 2. Le rayon poursuit sa route dans le verre et atteint une face verticale du bloc. Vérifier que son angle d'incidence sur cette face vaut $67{,}8°$, puis dire s'il sort du bloc.

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Question 1 — l'entrée dans le verre.

1. Convertir l'angle vers la normale. L'énoncé donne $55°$ par rapport à la surface ; la loi exige l'angle à la normale :

C'est la conversion oubliée dans une copie sur deux — d'où sa place en tête de corrigé.

2. Écrire la loi et isoler le sinus inconnu.

3. Calculer d'un seul trait (calculatrice en degrés, sans recopier de sinus arrondi) :

L'angle de réfraction vaut environ $22{,}2°$.

4. Contrôler le sens de la déviation. Le rayon entre dans un milieu plus réfringent ($1{,}52 > 1{,}00$) : il doit se rapprocher de la normale, donc $i_2 < i_1$. On a bien $22{,}2° < 35°$ — le résultat est cohérent. Un $i_2$ plus grand que $i_1$ aurait signalé des indices échangés.

Question 2 — la sortie… qui n'a pas lieu.

1. Trouver l'incidence sur la face verticale. La normale à une face verticale est horizontale. Or le rayon réfracté fait $22{,}2°$ avec la verticale (la normale de la face supérieure) ; il fait donc $90 - 22{,}2 = 67{,}8°$ avec l'horizontale, c'est-à-dire avec la normale de la face verticale : $i_1 = 67{,}8°$. Le tracé de la figure le confirme — et c'est toujours par rapport à la normale de la face atteinte que l'angle se mesure.

2. Identifier le sens du passage. Cette fois la lumière va du verre ($n_1 = 1{,}52$) vers l'air ($n_2 = 1{,}00$) : milieu moins réfringent à l'arrivée, une réflexion totale est possible — il faut comparer l'incidence à l'angle limite.

3. Calculer l'angle limite du couple verre-air, puis comparer.

L'incidence vaut $67{,}8°$, bien au-delà de $41{,}1°$.

Le rayon ne sort pas : il subit une réflexion totale sur la face verticale et repart à l'intérieur du bloc, comme sur un miroir.

4. Vérifier par la loi elle-même. En tentant le calcul direct : $\sin i_2 = 1{,}52 \times \sin(67{,}8°) \approx 1{,}52 \times 0{,}926 \approx 1{,}41 > 1$. Aucun angle n'a un sinus supérieur à 1 : la loi n'a pas de solution, ce qui est exactement la signature de la réflexion totale. Les deux raisonnements — comparer à l'angle limite, ou constater $\sin i_2 > 1$ — concluent toujours ensemble.

Figure (fig.physics.refraction-snell, SVG programmatique à produire) : trois panneaux alignés autour d'un même dioptre horizontal (air au-dessus, verre au-dessous).

• Panneau de gauche — le vocabulaire et le bon angle. Un dioptre horizontal, la normale en trait mixte vertical au point d'incidence. Un rayon incident descend de la gauche, un rayon réfracté se rapproche de la normale dans le verre, un rayon réfléchi (plus pâle) repart symétriquement dans l'air. Les angles $i_1$ et $i_2$ sont marqués par des arcs entre chaque rayon et la normale ; un second arc, barré d'une croix rouge, montre l'angle mesuré depuis la surface, avec la cote « $90° - i_1$ » et la légende « jamais cet angle-là dans la loi ». Sous le panneau, la loi $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.
• Panneau central — les deux sens de traversée. Deux vignettes superposées avec les mêmes milieux. En haut, passage air → verre : le rayon réfracté se rapproche de la normale ($i_2 < i_1$), légende « vers plus réfringent ». En bas, passage verre → air : le rayon s'écarte de la normale ($i_2 > i_1$), légende « vers moins réfringent ». Les indices $1{,}00$ et $1{,}52$ sont inscrits dans chaque milieu.
• Panneau de droite — la naissance de la réflexion totale. Trois rayons issus du verre vers l'air, d'incidences croissantes autour de l'angle limite $41{,}1°$ du couple verre-air. Rayon 1 ($i_1 < i_\ell$) : il sort, en s'écartant de la normale. Rayon 2 ($i_1 = i_\ell$) : le réfracté rase la surface, cote « $i_2 = 90°$ ». Rayon 3 ($i_1 > i_\ell$) : plus aucun rayon ne sort, le rayon repart entièrement dans le verre, symétrique par rapport à la normale, avec la légende « réflexion totale ». Un petit encart en dessous déroule une fibre optique en coupe, où un rayon zigzague par réflexions totales successives.

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche fixe la convention qui gouverne tout le chapitre : les angles se comptent depuis la normale, et l'angle « depuis la surface » est son complément à $90°$. Le panneau central donne le réflexe qualitatif — plus réfringent, plus près de la normale — qui permet de contrôler tout résultat numérique d'un coup d'œil. Le panneau de droite raconte la réflexion totale comme une histoire continue : l'angle limite n'est pas une formule tombée du ciel, c'est l'incidence exacte où le rayon réfracté finit de se coucher sur la surface avant de disparaître.

Les unités et la calculatrice. Un indice n'a pas d'unité ; les angles se donnent en degrés — vérifie le mode de ta calculatrice avant le premier arcsin, c'est la panne la plus bête et la plus fréquente du chapitre. Un sinus est un nombre entre $0$ et $1$ pour les angles du dioptre : toute valeur calculée au-delà de 1 ne désigne pas un angle, elle annonce une réflexion totale (ou une erreur).

Les repères à connaître. Angle limite verre → air : $\approx 41°$ ; eau → air : $\approx 49°$ ; diamant → air : $\approx 24°$ — plus l'indice est grand, plus la lumière est facile à piéger. Et un rayon qui arrive le long de la normale traverse sans dévier, quel que soit le couple de milieux : $\sin 0 = 0$ des deux côtés.

1. Mesurer les angles depuis la surface au lieu de la normale. La loi ne connaît que les angles à la normale ; l'angle donné « avec la surface » se convertit d'abord ($90° -$ l'angle). L'erreur est indétectable à $45°$, où les deux conventions coïncident — partout ailleurs, elle fausse tout. Réflexe : tracer la normale avant toute chose, même en exercice express.
2. Écrire la loi sans les sinus. $n_1\,i_1 = n_2\,i_2$ est fausse : les angles ne sont pas proportionnels, seuls leurs sinus le sont. La version sans sinus semble marcher aux petits angles — c'est ce qui la rend dangereuse — puis dérive de plus en plus au-delà de $20°$.
3. Échanger $n_1$ et $n_2$. L'indice 1 est celui du milieu d'où vient la lumière. Deux contrôles rattrapent l'échange : le sens de la déviation (plus réfringent = plus près de la normale) et, pour une identification de milieu, un indice calculé inférieur à 1 — impossible physiquement.
4. Chercher un angle quand $\sin i_2 > 1$. La calculatrice affiche une erreur sur arcsin d'un nombre supérieur à 1, et ce n'est pas un bug : c'est la physique qui dit « pas de rayon réfracté ». Conclure « réflexion totale », au lieu de bricoler le calcul, est la réponse attendue.
5. Chercher un angle limite dans le mauvais sens de passage. Vers un milieu plus réfringent, le rayon réfracté existe pour toute incidence : le quotient $n_2/n_1$ dépasse 1 et aucun angle limite n'existe. La réflexion totale exige $n_2 < n_1$ — de l'eau vers l'air, oui ; de l'air vers l'eau, jamais.
6. Laisser la calculatrice en radians. $\sin(35)$ en mode radians n'a rien à voir avec $\sin(35°)$. Un symptôme sûr : des résultats absurdes ou négatifs sur des angles banals. Vérifier le mode fait partie de la méthode, pas du folklore.
7. Arrondir un sinus intermédiaire puis calculer dessus. Recopier $0{,}57$ au lieu de garder $\sin(35°)$ en mémoire déplace le dixième de degré final. Le calcul se mène d'un trait, l'arrondi vient à la fin.
8. Croire que l'indice peut être inférieur à 1, ou qu'il a une unité. Pour la lumière dans les milieux transparents usuels, $n \geq 1$ toujours, et $n$ est un quotient sans unité. Une « donnée » $n = 0{,}75$ dans ta copie est un signal d'alarme, pas une découverte.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon manie la loi de Snell-Descartes dans toutes ses directions : calculer l'angle de réfraction (l'angle de l'énoncé étant donné tantôt par rapport à la normale, tantôt par rapport à la surface — la conversion fait partie du travail), retrouver l'angle d'incidence, identifier un milieu inconnu par son indice, et calculer l'angle limite d'un couple de milieux. Un modèle voisin, en vrai/faux, demande de trancher par le calcul si un rayon réfracté existe — le verdict sort de la comparaison de $\sin i_2$ à 1, jamais d'une récitation.

Énoncé type. Un rayon lumineux se propage dans l'eau et atteint la surface qui la sépare de l'air. Au-delà d'un certain angle d'incidence, plus aucun rayon réfracté ne passe : c'est la réflexion totale. On donne les indices : $n_1 = 1{,}33$ pour l'eau et $n_2 = 1{,}00$ pour l'air. Calculer l'angle limite $i_\ell$, en degrés, avec 3 chiffres significatifs. (Les angles se mesurent par rapport à la normale.)

Corrigé complet.

1. Vérifier que la question a un sens. La lumière va de l'eau ($1{,}33$) vers l'air ($1{,}00$) : milieu moins réfringent à l'arrivée — un angle limite existe. (Dans l'autre sens, la question n'aurait pas eu de réponse.)

2. Écrire la loi à la situation limite. À l'angle limite, le rayon réfracté rase la surface : $i_2 = 90°$, donc $\sin i_2 = 1$, et la loi devient

3. Remonter à l'angle.

L'angle limite du passage eau → air vaut environ $48{,}8°$.

4. Interpréter. En dessous de $48{,}8°$, un rayon sort de l'eau (en s'écartant de la normale) ; au-delà, la surface devient un miroir parfait vue de dessous. C'est pourquoi, en plongée, la surface vue de biais réfléchit le fond au lieu de montrer le ciel : au-delà de l'angle limite, plus rien ne traverse.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Le passage se fait-il bien vers un milieu moins réfringent ? Ai-je posé $\sin i_2 = 1$, et non $i_2 = 1$ ? Et ma calculatrice était-elle en degrés au moment de l'arcsin ?