L'effet Doppler : quand le mouvement change la fréquence reçue

Une sirène peut paraître plus aiguë pendant l’approche et plus grave pendant l’éloignement, sans modifier sa fréquence propre. Pour un observateur à distance latérale de la trajectoire, la transition est continue ; elle peut sembler rapide si le passage est proche. Nous séparons ci-dessous les calculs colinéaires et une illustration approximative du passage latéral.

Ce que l'on sait déjà. Une source qui vibre à la fréquence $f_e$ émet une onde de période $T_e = \dfrac{1}{f_e}$. Dans un milieu donné, cette onde se propage à une célérité $v$ fixée par le milieu, et sa longueur d'onde vaut $\lambda = v\,T_e$ : c'est la distance entre deux fronts d'onde successifs, c'est-à-dire entre deux crêtes. Ces trois idées viennent de la leçon sur les ondes périodiques, et elles suffisent à tout expliquer.

Le mécanisme, en une image. Imaginez la source immobile : elle émet des fronts d'onde sphériques, régulièrement espacés de $\lambda$ dans toutes les directions, comme des ronds dans l'eau. Maintenant, faites-la avancer à la vitesse $v_s$. Elle émet un front, puis attend une période $T_e$ avant d'émettre le suivant — mais pendant cette période, elle a avancé de $v_s\,T_e$. Le front suivant part donc d'un point plus proche de l'avant. Résultat : devant la source, les fronts se resserrent ; derrière elle, ils s'écartent.

Mettons-y des nombres. Pendant une période $T_e$, le premier front a parcouru $v\,T_e$ et la source a parcouru $v_s\,T_e$. Devant la source, la distance entre deux fronts vaut donc

et derrière elle, $\lambda' = (v + v_s)\,T_e$. La longueur d'onde dans le milieu a changé.

Du resserrement à la fréquence perçue. Un observateur immobile ne voit pas les fronts, il les reçoit. Ils arrivent sur lui à la célérité $v$ du milieu, séparés par la distance $\lambda'$ : il en reçoit donc un tous les $T_r = \dfrac{\lambda'}{v}$, et il perçoit la fréquence $f_r = \dfrac{v}{\lambda'}$. En remplaçant :

Source mobile, récepteur immobile, mouvement colinéaire. La source et le récepteur sont alignés sur la direction du mouvement dans un milieu homogène immobile, de célérité constante, avec une source subsonique. Pour un angle quelconque, on doit utiliser la composante radiale appropriée à la position d’émission, en tenant compte du temps de propagation.

$$f_r = f_e\,\frac{v}{v - v_s} \quad \text{si la source se rapproche}, \qquad f_r = f_e\,\frac{v}{v + v_s} \quad \text{si elle s'éloigne}.$$

Le contrôle de bon sens, à faire à chaque fois. Quand la source se rapproche, le dénominateur $v - v_s$ est plus petit que $v$, donc le quotient dépasse $1$ et $f_r > f_e$ : le son perçu est plus aigu. Quand elle s'éloigne, le dénominateur est plus grand, le quotient est inférieur à $1$ et $f_r < f_e$ : le son perçu est plus grave. Ce contrôle rattrape à lui seul la moitié des erreurs de signe.

Ce qui change, et ce qui ne change pas. La source vibre toujours à $f_e$ : c'est son mécanisme qui la fixe, pas la façon dont on l'écoute. La célérité $v$ ne change pas non plus : c'est le milieu qui la fixe, et l'onde ne « prend pas de vitesse » parce que la source court. Ce qui change, c'est l'espacement des fronts dans le milieu, donc la longueur d'onde reçue, donc la fréquence reçue. L'effet Doppler est un effet de réception, pas d'émission.

Pour un passage avec distance latérale non nulle, la direction de propagation varie. On ne peut pas déduire la fréquence exacte reçue à l’instant du passage de la seule position instantanée du véhicule : le son reçu a été émis auparavant. Le graphique présenté adopte une approximation négligeant ce retard ; son croisement à la hauteur du passage n’est pas une égalité physique exacte.

L'approximation des faibles vitesses. La progression de cette leçon se place dans le cas où la vitesse de la source est petite devant la célérité de l'onde, ce qu'on écrit $v_s \ll v$. Dans ce cas, le décalage relatif de fréquence prend une forme très simple. Pour une source qui se rapproche :

Autrement dit, le décalage relatif de fréquence vaut à peu près le rapport de la vitesse de la source à la célérité de l'onde. Une ambulance à $20$ m/s dans un air où le son va à $340$ m/s décale la fréquence d'environ $6$ %, ce qui s'entend très bien. Un rapport de1/340 donne environ0,3% de décalage à faible vitesse ; son audibilité dépend des conditions d’écoute, et n’est pas déduite de ce seul nombre.

Cette approximation a une frontière nette. Si la vitesse de la source s'approche de la célérité de l'onde, le dénominateur $v - v_s$ tend vers zéro et la relation cesse d'avoir un sens physique simple : c'est le domaine du franchissement du mur du son, qui n'est pas au programme. Retenez la borne : la source reste toujours plus lente que l'onde, et bien plus lente.

Le cas de la lumière. La lumière est une onde qui se propage dans le vide à la célérité $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s. L’analyse relativiste conduit, au premier ordre en vitesse radiale sur $c$, pour une vitesse $v$ petite devant $c$, à un décalage relatif de longueur d'onde :

Décalage spectral d'une source lumineuse. $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \dfrac{v}{c}$, où $\lambda$ est la longueur d'onde émise au repos, $\Delta\lambda$ l'écart entre la longueur d'onde observée et celle-ci, et $v$ la vitesse radiale algébrique de la source, positive pour un éloignement et négative pour un rapprochement, c'est-à-dire la composante de sa vitesse le long de la ligne de visée.

Le sens du décalage se lit comme celui du son. Une source qui s'éloigne donne une fréquence reçue plus basse, donc une longueur d'onde reçue plus grande : le spectre est décalé vers les grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire vers le rouge — on parle de décalage vers le rouge. Une source qui se rapproche donne un décalage vers les courtes longueurs d'onde, vers le bleu. La correspondance est directe : plus grave pour le son, plus rouge pour la lumière.

Deux précautions. D'abord, cette relation n'est valable que pour des vitesses petites devant celle de la lumière ; au-delà, il faut la relativité restreinte, qui n'est pas au programme. Ensuite, seule la composante radiale de la vitesse produit un décalage : une étoile qui se déplacerait exactement perpendiculairement à la ligne de visée ne montrerait, à ce niveau d'approximation, aucun décalage. La valeur absolue de la vitesse radiale est au plus égale à la vitesse totale ; elle peut lui être égale si le mouvement est entièrement radial.

Trois applications qui font la valeur du chapitre.

L'astronomie. Les atomes d'une étoile absorbent ou émettent à des longueurs d'onde parfaitement connues — la raie de l'hydrogène nommée H alpha, à $656{,}3$ nm, en est l'exemple le plus utilisé. En comparant la position observée d'une raie à sa position au repos, on obtient la vitesse radiale de l'astre, souvent quelques dizaines à quelques centaines de kilomètres par seconde. C'est ainsi que l'on mesure la rotation des galaxies, que l'on détecte le balancement d'une étoile trahissant une planète en orbite, et que l'on classe les astres en approche ou en éloignement.

Le radar routier. Le radar émet une onde à une fréquence connue, prise ici à24 GHz comme donnée illustrative. L'onde atteint le véhicule, qui la renvoie. Il y a donc deux décalages successifs : le véhicule reçoit une fréquence déjà décalée, puis la réémet en se déplaçant. C'est pourquoi le décalage mesuré au retour vaut

au premier ordre pour une vitesse petite devant $c$, avec un facteur2 dû à l’aller-retour. Ici $v_{rad}$ est la composante de la vitesse selon la ligne radar–véhicule, et non automatiquement la vitesse totale : $|v_{rad}|=v|\cos\alpha|$. Le dispositif décrit mélange l’onde reçue avec une référence issue de l’onde émise : le battement permet de déterminer directement le décalage $\Delta f$, de quelques kilohertz dans les exemples retenus.

La médecine. L'échographie Doppler envoie des ultrasons vers les vaisseaux sanguins ; les globules rouges en mouvement renvoient une onde décalée, et l'appareil en déduit la vitesse du sang. C'est le même principe que le radar, avec des ultrasons à la place des ondes électromagnétiques.

Une dissymétrie à connaître. Pour une onde qui a besoin d'un milieu, comme le son, la situation « la source bouge » et la situation « le récepteur bouge » ne sont pas équivalentes. Quand la source bouge, ce sont les fronts d'onde qui sont réellement resserrés dans l'air, et la vitesse apparaît au dénominateur. Quand le récepteur bouge, les fronts sont régulièrement espacés et c'est lui qui les rencontre plus ou moins vite : la vitesse apparaît alors au numérateur, sous la forme $f_r = f_e\,\dfrac{v \pm v_r}{v}$. Les deux résultats sont voisins tant que les vitesses sont faibles, mais ils ne sont pas identiques, et l'écart grandit avec la vitesse. Les exercices acoustiques de cette leçon se concentrent sur le premier cas : source mobile, récepteur immobile. Vérifiez toujours, dans l'énoncé, qui bouge.

Première partie — la sirène. La sirène d'une ambulance émet un son de fréquence $f_e = 640$ Hz. Le véhicule roule en ligne droite à la vitesse constante $v_s = 20$ m/s. Pour le calcul, on considère deux situations idéalisées distinctes, source et récepteur alignés sur la direction du mouvement : approche colinéaire puis éloignement colinéaire. On ne modélise pas le moment où le véhicule dépasse un piéton sur un trottoir. Le son se propage dans l'air à la célérité $v = 340$ m/s.

Questions. 1. Quelle fréquence le piéton perçoit-il quand l'ambulance se rapproche ? 2. Quelle fréquence perçoit-il quand elle s'éloigne ? 3. Quel écart sépare ces deux fréquences colinéaires ? 4. L'approximation des faibles vitesses est-elle légitime ici ?

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1. En approche. La source bouge, le récepteur est immobile : la relation à utiliser est celle de la source mobile, avec le signe moins puisqu'elle se rapproche.

Contrôle de sens : $680$ Hz est supérieur à $640$ Hz, le son est perçu plus aigu. C'est bien ce qu'on entend quand l'ambulance arrive.

2. En éloignement. Même relation, avec le signe plus :

Contrôle de sens : $604$ Hz est inférieur à $640$ Hz, le son est perçu plus grave. C'est bien ce qu'on entend une fois l'ambulance passée.

3. L’écart entre les deux situations. Les fréquences exactes du modèle sont680 Hz et $640\times340/360\approx604{,}444$ Hz. Leur différence vaut environ75,6 Hz, soit environ12% de640 Hz. Leur moyenne est642,22 Hz : la fréquence émise640 Hz n’est donc pas exactement au milieu. Ce calcul ne décrit pas un saut instantané lors d’un passage à distance latérale non nulle.

4. La légitimité de l'approximation. Le rapport de la vitesse de la source à la célérité du son vaut

soit environ $5{,}9$ %. La source est bien beaucoup plus lente que l'onde : nous sommes dans le domaine de validité. Vérifions au passage la formule approchée du décalage relatif : en approche, $\dfrac{680 - 640}{640} = 0{,}0625$, soit $6{,}25$ %, très proche des $5{,}9$ % annoncés par le rapport des vitesses. Son acceptabilité dépend de la précision demandée : ici la fréquence approchée vaut environ677,65 Hz contre680 Hz, soit environ0,35% d’écart ; l’erreur relative sur le seul décalage est d’environ5,9%.

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Seconde partie — l'étoile. Dans le spectre d'une étoile, la raie H alpha de l'hydrogène, dont la longueur d'onde au repos vaut $\lambda = 656{,}3$ nm, est observée à $656{,}5$ nm. On donne $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s.

5. Sens du mouvement. La longueur d'onde observée est plus grande que la longueur d'onde au repos : le décalage se fait vers les grandes longueurs d'onde, c'est un décalage vers le rouge. Comme une longueur d'onde plus grande correspond à une fréquence reçue plus basse — le « plus grave » du son —, l'étoile s'éloigne de nous.

6. Vitesse radiale. L'écart vaut $\Delta\lambda = 656{,}5 - 656{,}3 = 0{,}2$ nm. On isole la vitesse dans la relation du décalage relatif :

Les deux longueurs d'onde étant exprimées dans la même unité, leur quotient est un nombre sans unité : la vitesse sort donc directement en mètres par seconde, comme la célérité de la lumière. Le décalage relatif vaut ici environ $3 \times 10^{-4}$, soit trois dix-millièmes : très inférieur à un pour cent, donc largement dans le domaine où la relation approchée s'applique.

Le réflexe de la leçon. Trois gestes, toujours dans cet ordre. Repérer qui bouge et dans quel sens, pour choisir la bonne relation. Calculer. Puis vérifier le sens du résultat : plus aigu ou plus bleu si l'on se rapproche, plus grave ou plus rouge si l'on s'éloigne.

Lisez les fronts d’onde. La source immobile donne des fronts concentriques ; la source mobile décale leurs centres. Le rapport de vitesse dessiné est0,50 pour rendre les espacements visibles, distinct du rapport20/340 de l’exemple. Devant et derrière sur l’axe du mouvement, les espacements13 et39 pixels illustrent les deux longueurs d’onde.

Graphique approximatif du passage latéral. Il utilise une géométrie instantanée à10 m de la trajectoire, en négligeant le retard de propagation : la variation est continue. Son croisement de640 Hz au passage appartient à cette approximation, et ne donne pas la fréquence reçue exacte à cet instant. Les limites avant/après ne sont pas symétriques autour de640 Hz.

Les applications en bas distinguent décalage spectral, réflexion radar et ultrasons. Les formules de lumière/radar sont des approximations de faible vitesse, portant sur la composante radiale.