Incertitudes composées : type A, type B et propagation

En seconde, tu as appris qu'une mesure ne se résume pas à un nombre : on écrit $m = 12{,}340 \pm 0{,}009$ g, et le second nombre — l'incertitude-type $u(m)$ — dit la largeur de la zone où la valeur vraie a de bonnes chances de se trouver. Tu savais l'obtenir pour une grandeur mesurée plusieurs fois. En licence, deux choses changent : on sait aussi évaluer l'incertitude d'une grandeur mesurée une seule fois avec un instrument dont on connaît la tolérance, et l'on sait propager ces incertitudes dans un calcul — parce qu'un résultat de physique est presque toujours calculé à partir de plusieurs mesures.

Le vocabulaire, fixé par le GUM. Le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure distingue deux méthodes d'évaluation, pas deux natures d'incertitude :

• type A : par un traitement statistique d'une série de mesures répétées ;
• type B : par tout autre moyen — notice de l'instrument, tolérance du constructeur, résolution de l'affichage, expérience antérieure. Les deux produisent une incertitude-type, notée $u$, homogène à la grandeur et qui se compose ensuite de la même manière.

Type A : la série. Pour $n$ mesures indépendantes $x_1, \dots, x_n$ d'une même grandeur, de moyenne $\bar{x}$, l'écart-type expérimental de la série est

et l'incertitude-type sur la moyenne vaut

Deux nombres, deux sens. $s$ décrit la dispersion des mesures individuelles : refaire dix mesures de plus ne la change pas. $u(\bar{x})$ décrit la précision de la moyenne : elle diminue quand $n$ augmente, mais seulement en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ — quatre fois plus de mesures pour une incertitude deux fois plus petite.

Type B : la tolérance. Un constructeur annonce qu'une lecture ne s'écarte jamais de plus de $a$ de la valeur vraie, sans autre indication. On modélise alors la valeur vraie par une loi uniforme sur l'intervalle de demi-largeur $a$ : toutes les valeurs y sont également probables. L'écart-type d'une telle loi est $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$, donc

Un voltmètre garanti à $\pm 0{,}5$ V donne $u(U) = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx 0{,}29$ V. Même règle pour la résolution d'un affichage numérique : si l'appareil affiche au dixième, la valeur vraie est quelque part dans une case de largeur $0{,}1$, demi-largeur $0{,}05$, d'où $u = \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} \approx 0{,}029$. Le $\sqrt{3}$ n'est pas une convention arbitraire : c'est l'écart-type de la loi uniforme, et c'est le GUM (§ 4.3.7) qui le prescrit.

Ce que l'on gagne. Une grandeur mesurée une seule fois n'était, au lycée, accompagnée d'aucune incertitude — ou d'une demi-graduation sans justification. Elle a maintenant une incertitude-type calculée, et cette incertitude peut entrer dans un bilan au même titre qu'une évaluation statistique.

La question. On mesure $A$ et $B$, avec leurs incertitudes-types $u(A)$ et $u(B)$, et l'on calcule $Y = f(A, B)$. Quelle est $u(Y)$ ?

La loi générale (GUM § 5.1), pour des grandeurs d'entrée indépendantes :

Chaque incertitude d'entrée est multipliée par la sensibilité de $f$ à cette entrée (sa dérivée partielle), puis les contributions s'ajoutent au carré. Tu n'appliqueras cette loi qu'à travers ses deux cas particuliers ; mais c'est elle qui les justifie, et elle explique le mot quadrature : on ajoute des carrés, puis on prend la racine.

Cas 1 — somme ou différence. $Y = A + B$ ou $Y = A - B$ : les dérivées partielles valent $\pm 1$, et

On compose les incertitudes absolues, et le signe de l'opération ne change rien : une différence a la même incertitude qu'une somme. Exemple : une longueur lue comme différence de deux positions sur une règle, chacune avec $u = 0{,}3$ mm, a pour incertitude $\sqrt{0{,}3^2 + 0{,}3^2} = 0{,}3\sqrt{2} \approx 0{,}42$ mm — pas $0{,}6$ mm.

Cas 2 — produit de puissances. $Y = k\,A^{p}\,B^{q}$ avec $k$ une constante exacte et $p$, $q$ des exposants (entiers ou non, positifs ou négatifs) :

On compose les incertitudes relatives, chacune multipliée par son exposant. Un quotient est un produit avec $q = -1$ : l'exposant est élevé au carré, le signe disparaît. Un carré ($p = 2$) fait entrer le double de l'incertitude relative. C'est ce qui rend un résultat en $T^2$ très sensible à la mesure de $T$.

Pourquoi la quadrature, et pas la somme. Additionner $u(A) + u(B)$ reviendrait à supposer que les deux erreurs sont toujours dans le même sens, ce que l'indépendance interdit. La composition quadratique est toujours inférieure à la somme : si tu obtiens une incertitude plus grande que la somme des contributions, tu as fait une erreur d'arithmétique ; si tu obtiens exactement la somme, tu as additionné au lieu de composer.

Le budget d'incertitude. Écris chaque contribution au carré — $p^2\left(\frac{u(A)}{A}\right)^2$, $q^2\left(\frac{u(B)}{B}\right)^2$ — côte à côte. La plus grande est la grandeur dominante : c'est elle qu'il faut mieux mesurer pour améliorer le résultat, et les autres sont presque sans effet tant qu'elles restent plusieurs fois plus petites. Un budget n'est pas une formalité de compte rendu : c'est ce qui décide où l'on dépense du temps de mesure.

Écrire le résultat. L'incertitude-type est arrondie à un ou deux chiffres significatifs (deux si le premier est $1$ ou $2$), et la valeur au même rang décimal : $g = 9{,}811 \pm 0{,}044$ m·s⁻², ou $g = 9{,}81 \pm 0{,}04$ m·s⁻². Écrire $9{,}810652 \pm 0{,}043770$ n'est pas plus précis, c'est faux : les décimales au-delà de l'incertitude n'ont pas de sens. Et l'unité accompagne les deux nombres.

Attention au mot « relatif ». Une incertitude relative n'a pas d'unité et s'exprime souvent en pourcentage. Composer des incertitudes absolues dans un produit, ou des relatives dans une somme, est une erreur d'homogénéité : le résultat n'a même pas la bonne dimension. Avant de composer, demande-toi : somme ou produit ? absolu ou relatif ?

Énoncé. On mesure l'accélération de la pesanteur avec un pendule simple, par la relation $g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$. (Valeurs construites pour l'exemple, elles ne prétendent reproduire aucune mesure publiée.)

• La longueur $L$ est mesurée une fois au mètre à ruban : $L = 1{,}000$ m, avec une tolérance annoncée de $\pm 3{,}5$ mm sur la lecture, sans autre indication.
• La période $T$ est obtenue par cinq chronométrages indépendants de dix oscillations, dont on tire cinq valeurs de $T$ ; le traitement statistique donne $\bar{T} = 2{,}006$ s et $u(T) = 0{,}004$ s.

1. Évaluer $u(L)$.
2. Calculer $g$ et son incertitude-type $u(g)$, puis écrire le résultat.
3. Quelle grandeur domine le budget ? Que faudrait-il améliorer en priorité ?

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1. Type B pour $L$. La tolérance est une demi-largeur $a = 3{,}5$ mm sans autre information : loi uniforme, et

En relatif : $\dfrac{u(L)}{L} = \dfrac{0{,}0020}{1{,}000} = 0{,}20\ \%$.

2. Produit de puissances. $g = 4\pi^2\,L^{1}\,T^{-2}$ : la constante $4\pi^2$ est exacte, les exposants sont $p = 1$ et $q = -2$. D'abord la valeur :

Puis les incertitudes relatives : $\dfrac{u(T)}{T} = \dfrac{0{,}004}{2{,}006} \approx 0{,}199\ \%$. Composition :

d'où $\dfrac{u(g)}{g} \approx 0{,}446\ \%$ et $u(g) \approx 9{,}811 \times 0{,}00446 \approx 0{,}044$ m·s⁻². Résultat :

Si l'on avait additionné les relatives avec leurs exposants, $0{,}20 + 2 \times 0{,}199 = 0{,}60\ \%$ : un tiers de plus que la composition correcte. Si l'on avait oublié l'exposant de $T$ : $\sqrt{0{,}040 + 0{,}040} = 0{,}28\ \%$, deux fois trop petit.

3. Le budget. Les deux contributions au carré valent $0{,}040$ pour $L$ et $0{,}159$ pour $T$ : la période pèse quatre fois plus que la longueur, alors que leurs incertitudes relatives sont presque égales — c'est l'exposant $2$ qui fait la différence. Pour améliorer le résultat, il faut donc mieux mesurer $T$ : chronométrer vingt oscillations au lieu de dix divise l'incertitude sur $T$ par deux, ou répéter le chronométrage vingt fois au lieu de cinq la divise par deux également ($u = s/\sqrt{n}$). Améliorer la mesure de $L$ ne changerait presque rien : même avec $u(L) = 0$, on aurait $\dfrac{u(g)}{g} \approx 0{,}40\ \%$.

Contrôle d'ordre de grandeur. La composition ($0{,}446\ \%$) est bien comprise entre la plus grande contribution seule ($0{,}40\ \%$) et la somme ($0{,}60\ \%$). C'est toujours le cas ; si ce ne l'est pas, une erreur s'est glissée dans les carrés.

Figure (fig.physics.significant-figures-uncertainty, figure programmatique de la leçon de seconde, relue ici comme une évaluation de type A) : deux panneaux.

• Panneau du haut. Un axe horizontal gradué de $12{,}30$ g à $12{,}40$ g, tous les centièmes. Cinq pesées d'un même objet sont portées par des points au-dessus de l'axe : $12{,}32$ ; $12{,}33$ (deux fois, points empilés) ; $12{,}35$ ; $12{,}37$ g. Un trait vertical épais marque la moyenne $\bar{m} = 12{,}34$ g. Une bande colorée centrée sur la moyenne, de demi-largeur $0{,}009$ g, est étiquetée « $\pm u(m)$ ». Une accolade sous l'axe, de $12{,}32$ à $12{,}37$, est légendée « dispersion de la série ».
• Panneau du bas. Trois nombres écrits dans des cases — $0{,}0025$, $2{,}50$, $3{,}00 \times 10^8$ — avec une flèche sur le premier chiffre non nul et les chiffres significatifs teintés : le rappel de l'écriture d'un résultat.

Ce qu'il faut y lire pour cette leçon. La figure contient les deux nombres qu'il ne faut pas confondre. La dispersion de la série est mesurée par $s$ : les écarts à la moyenne sont $-0{,}02$, $-0{,}01$, $-0{,}01$, $+0{,}01$, $+0{,}03$ g, la somme de leurs carrés vaut $16 \times 10^{-4}$ g², et $s = \sqrt{\dfrac{16 \times 10^{-4}}{5 - 1}} = 0{,}02$ g — c'est la largeur de l'accolade, à peu près. L'incertitude sur la moyenne est $u(\bar{m}) = \dfrac{s}{\sqrt{5}} = \dfrac{0{,}02}{\sqrt{5}} \approx 0{,}009$ g — c'est la bande colorée, plus de deux fois plus étroite que l'accolade. Si l'on refaisait vingt pesées au lieu de cinq, l'accolade garderait à peu près sa largeur (les pesées individuelles ne deviennent pas meilleures) et la bande se resserrerait à $\dfrac{0{,}02}{\sqrt{20}} \approx 0{,}0045$ g : la moyenne devient meilleure, pas les mesures.

Ce que la figure ne montre pas. Une évaluation de type B n'y apparaît pas — la balance a pourtant une résolution, $0{,}01$ g, qui donnerait à elle seule $u = \dfrac{0{,}005}{\sqrt{3}} \approx 0{,}003$ g, ici plus petite que l'évaluation statistique. Et rien n'y est encore propagé : la masse mesurée n'entre dans aucun calcul. La bande $\pm u(m)$ est le point de départ ; la suite de la leçon est ce qui lui arrive quand $m$ entre dans une somme ou dans un quotient.

Trois repères numériques. $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58$ : une tolérance $\pm a$ vaut une incertitude-type d'environ $0{,}58\,a$. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ : deux contributions égales composées en quadrature donnent $1{,}41$ fois l'une d'elles, pas $2$. Et un exposant $2$ double l'incertitude relative de la grandeur qu'il affecte, donc quadruple sa contribution au budget.

Écriture du résultat. $u$ à un ou deux chiffres significatifs, valeur arrondie au même rang, unité sur les deux, incertitude relative en pourcentage si elle est demandée. Une incertitude écrite avec autant de chiffres que la valeur n'est pas une incertitude.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. L'incertitude élargie et le facteur $k$ (intervalle de confiance à 95 %), les covariances entre grandeurs corrélées, l'application de la loi générale à une fonction quelconque (logarithme, exponentielle), la comparaison de deux résultats par un écart normalisé au-delà de ce que la seconde a vu, et les incertitudes d'ajustement d'une droite.

1. Additionner les incertitudes au lieu de les composer. $u(A) + u(B)$ suppose des erreurs toujours de même sens ; l'indépendance impose $\sqrt{u(A)^2 + u(B)^2}$, toujours plus petite. Deux contributions de $0{,}3$ donnent $0{,}42$, pas $0{,}6$. Un résultat égal à la somme trahit l'erreur.
2. Oublier l'exposant. Dans $g = 4\pi^2 L/T^2$, c'est $2 \times \dfrac{u(T)}{T}$ qui entre au budget. Oublier le $2$ divise la contribution par deux et son carré par quatre : le résultat final est nettement trop optimiste.
3. Mettre l'exposant sur la mauvaise grandeur. Dans $V = \pi r^2 h$, le $2$ porte sur $r$, pas sur $h$. Écris la relation sous la forme $k\,A^{p}\,B^{q}$ avant de composer, et relis les exposants.
4. Composer des absolues dans un produit, ou des relatives dans une somme. Le résultat n'a alors pas la bonne dimension — c'est le contrôle qui le révèle : une incertitude sur une longueur doit être en mètres, une incertitude relative sans unité.
5. Confondre $s$ et $u(\bar{x})$. L'écart-type $s$ décrit la dispersion des mesures ; l'incertitude sur la moyenne est $s/\sqrt{n}$. Répéter la mesure réduit la seconde, jamais la première. Sur la figure, l'accolade ne bouge pas quand la bande se resserre.
6. Oublier le $\sqrt{3}$ de la loi uniforme. Une tolérance $\pm a$ n'est pas une incertitude-type : $u = a/\sqrt{3}$. Prendre $u = a$ surestime d'un facteur $1{,}7$ ; prendre $u = a/2$ n'a aucune justification.
7. Écrire l'incertitude avec trop de chiffres. $u(g) = 0{,}043770$ est une écriture fausse : un ou deux chiffres significatifs, et la valeur arrondie au même rang. $9{,}811 \pm 0{,}044$, ou $9{,}81 \pm 0{,}04$.
8. Ne garder que le terme dominant. Il domine, il n'est pas seul. Avec des contributions au carré de $0{,}159$ et $0{,}040$, la racine de leur somme vaut $0{,}446$, pas $0{,}40$. Le budget sert à décider ce qu'on améliore, pas à supprimer des termes.
9. Oublier de dire que les grandeurs sont indépendantes. Les formules de cette leçon ne valent que pour des entrées indépendantes. Deux longueurs lues sur la même règle mal étalonnée ne le sont pas ; leur différence peut alors avoir une incertitude plus petite que la composition quadratique — cas hors programme, mais l'hypothèse doit être écrite.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'un des quatre gestes du chapitre : une série de travaux pratiques dont il faut extraire l'incertitude-type sur la moyenne (type A) ; une tolérance d'instrument à convertir par la loi uniforme (type B) ; une somme ou une différence de deux lectures, avec leurs incertitudes absolues ; ou un produit de puissances — masse volumique, accélération, résistance — avec ses incertitudes relatives et ses exposants. Les grandeurs sont toujours déclarées indépendantes, et les séries sont construites, non empruntées. Un modèle voisin, à choix multiples, propose quatre pourcentages pour l'incertitude relative d'une grandeur calculée : la somme des contributions y figure toujours, et elle n'est jamais la bonne.

Énoncé type. Pour déterminer la masse volumique $\rho$ d'un liquide, on utilise la relation $\rho = \dfrac{m}{V}$. Les deux grandeurs sont mesurées indépendamment : $m = 45{,}0$ g avec $u(m) = 0{,}1$ g, et $V = 18{,}0$ mL avec $u(V) = 0{,}2$ mL. Calculer $\rho$, son incertitude relative en pourcentage, et son incertitude-type $u(\rho)$. Écrire le résultat.

Corrigé complet.

1. La valeur. $\rho = \dfrac{45{,}0}{18{,}0} = 2{,}50$ g/mL.

2. Reconnaître la forme. $\rho = m^{1}\,V^{-1}$ : un produit de puissances, exposants $p = 1$ et $q = -1$. On compose donc les incertitudes relatives.

3. Les relatives. $\dfrac{u(m)}{m} = \dfrac{0{,}1}{45{,}0} \approx 0{,}222\ \%$ et $\dfrac{u(V)}{V} = \dfrac{0{,}2}{18{,}0} \approx 1{,}11\ \%$.

4. Composer en quadrature, exposants compris.

d'où $\dfrac{u(\rho)}{\rho} \approx 1{,}13\ \%$. Contrôle : c'est entre la contribution dominante seule ($1{,}11\ \%$) et la somme ($1{,}33\ \%$). $\checkmark$

5. Revenir en absolu et écrire. $u(\rho) = 2{,}50 \times 0{,}0113 \approx 0{,}028$ g/mL, soit $0{,}03$ g/mL à un chiffre significatif.

6. Lire le budget. Le volume contribue pour $1{,}235$ contre $0{,}049$ pour la masse — vingt-cinq fois plus. C'est la mesure de volume qu'il faut améliorer ; une balance plus précise ne changerait rien.

Réponse : $\rho = 2{,}50$ g/mL, incertitude relative $1{,}13\ \%$, $u(\rho) \approx 0{,}03$ g/mL.

Auto-contrôle. Ai-je identifié produit (relatives) et non somme (absolues) ? Ai-je mis les exposants au carré, et le signe de $-1$ a-t-il disparu ? Mon incertitude composée est-elle comprise entre la plus grande contribution et la somme des contributions ? L'incertitude finale a-t-elle un ou deux chiffres significatifs, la valeur le même rang, et l'unité sur les deux ?