Incertitudes composées : type A, type B et propagation

Dans la leçon précédente, vous avez appris qu'une mesure ne se résume pas à un nombre : on écrit $m = 12{,}340 \pm 0{,}009$ g, et le second nombre — l'incertitude-type $u(m)$ — caractérise la dispersion attribuée à la grandeur dans le modèle ; l’écriture ±u ne garantit pas, à elle seule, un niveau de confiance. Vous saviez l’obtenir pour une grandeur mesurée plusieurs fois. Par rapport à la leçon précédente de ce parcours, deux outils sont développés : on sait aussi évaluer l'incertitude d'une grandeur mesurée une seule fois avec un instrument dont on connaît la tolérance, et l'on sait propager ces incertitudes dans un calcul — parce qu'un résultat de physique est presque toujours calculé à partir de plusieurs mesures.

Le vocabulaire, fixé par le GUM. Le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure distingue deux méthodes d'évaluation, pas deux natures d'incertitude :

• type A : par un traitement statistique d'une série de mesures répétées ;
• type B : par tout autre moyen — notice de l'instrument, tolérance du constructeur, résolution de l'affichage, expérience antérieure. Les deux produisent une incertitude-type, notée $u$, homogène à la grandeur et qui se compose ensuite de la même manière.

Type A : la série. Pour $n$ observations indépendantes $x_1, \dots, x_n$ d’une même grandeur stable dans les mêmes conditions, de moyenne $\bar{x}$, l'écart-type expérimental de la série est

et l'incertitude-type sur la moyenne vaut

Deux nombres, deux sens. $s$ décrit la dispersion des mesures individuelles : répéter ne réduit pas la dispersion de la population des mesures ; l’estimation s peut néanmoins varier d’un échantillon à l’autre. $u(\bar{x})$ décrit la précision de la moyenne : sa composante statistique diminue sous les mêmes conditions et à dispersion inchangée en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ — quatre fois plus de mesures pour une incertitude deux fois plus petite.

Type B : la tolérance. On dispose de limites symétriques de demi-largeur a pour une composante d’écart, sans information privilégiant une valeur. On choisit un modèle de loi uniforme sur l'intervalle de demi-largeur $a$ : toutes les valeurs y sont également probables. L'écart-type d'une telle loi est $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$, donc

Un voltmètre garanti à $\pm 0{,}5$ V donne $u(U) = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx 0{,}29$ V. Pour la seule composante d’arrondi d’un affichage numérique, si l’on suppose l’écart uniformément réparti dans une case de largeur $0{,}1$, demi-largeur $0{,}05$, d'où $u = \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} \approx 0{,}029$. Le $\sqrt{3}$ n'est pas une convention arbitraire : c'est l'écart-type de la loi uniforme, et le GUM (§ 4.3.7) donne ce résultat pour le modèle rectangulaire retenu, sans imposer cette distribution à toute situation.

Ce que l'on gagne. Une lecture unique peut recevoir une incertitude évaluée à partir d’informations sur l’instrument et d’un modèle explicite, sans série de répétitions. Elle a maintenant une incertitude-type calculée, et cette incertitude peut entrer dans un bilan au même titre qu'une évaluation statistique.

La question. On mesure $A$ et $B$, avec leurs incertitudes-types $u(A)$ et $u(B)$, et l'on calcule $Y = f(A, B)$. Quelle est $u(Y)$ ?

La loi de propagation au premier ordre (GUM §5.1), pour des entrées indépendantes et une fonction dérivable suffisamment linéaire à l’échelle de leurs incertitudes :

Chaque incertitude d'entrée est multipliée par la sensibilité de $f$ à cette entrée (sa dérivée partielle), puis les contributions s'ajoutent au carré. Vous n’appliquerez cette loi qu'à travers ses deux cas particuliers ; mais c'est elle qui les justifie, et elle explique le mot quadrature : on ajoute des carrés, puis on prend la racine.

Cas 1 — somme ou différence. Pour des entrées de variances finies non corrélées, la relation de variance suivante est exacte : $Y = A + B$ ou $Y = A - B$ : les dérivées partielles valent $\pm 1$, et

On compose les incertitudes absolues, et le signe de l'opération ne change rien : une différence a la même incertitude qu'une somme. Exemple : une longueur lue comme différence de deux positions sur une règle, chacune avec $u = 0{,}3$ mm, a pour incertitude $\sqrt{0{,}3^2 + 0{,}3^2} = 0{,}3\sqrt{2} \approx 0{,}42$ mm — pas $0{,}6$ mm.

Cas 2 — produit de puissances. On se place au premier ordre, avec de petites incertitudes relatives, des entrées et une sortie non nulles, dans un domaine où la fonction est définie et dérivable. $Y = k\,A^{p}\,B^{q}$ avec $k$ une constante exacte et $p$, $q$ des exposants (entiers ou non, positifs ou négatifs) :

On compose les incertitudes relatives, chacune multipliée par son exposant. Un quotient est un produit avec $q = -1$ : l'exposant est élevé au carré, le signe disparaît. Un carré ($p = 2$) fait entrer le double de l'incertitude relative. C'est ce qui rend un résultat en $T^2$ très sensible à la mesure de $T$.

Pourquoi la quadrature, et pas la somme. Pour des entrées indépendantes, la variance d’une somme s’obtient en additionnant les variances. Des écarts de même signe peuvent pourtant se produire sur un tirage : l’indépendance ne l’interdit pas. Pour deux contributions positives ou nulles a et b, max(a,b) ≤ √(a²+b²) ≤ a+b ; la seconde inégalité est stricte si les deux contributions sont strictement positives. Si l’une est nulle, quadrature et somme sont égales.

Le budget d'incertitude. Écrivez chaque contribution au carré — $p^2\left(\frac{u(A)}{A}\right)^2$, $q^2\left(\frac{u(B)}{B}\right)^2$ — côte à côte. La plus grande est la grandeur dominante : c'est elle qu'il faut mieux mesurer pour améliorer le résultat, les contributions plus petites ont un effet moindre, sans être automatiquement négligeables. Un budget n'est pas une formalité de compte rendu : c'est ce qui décide où l'on dépense du temps de mesure.

Écrire le résultat. L'incertitude-type est arrondie à un ou deux chiffres significatifs (deux si le premier est $1$ ou $2$), et la valeur au même rang décimal : $g = 9{,}811 \pm 0{,}044$ m·s⁻², ou $g = 9{,}81 \pm 0{,}04$ m·s⁻². Conserver $9{,}810652 \pm 0{,}043770$ dans une étape intermédiaire n’est pas une erreur mathématique ; pour le résultat final, on arrondit afin de ne pas afficher de précision excessive. Et l'unité accompagne les deux nombres.

Attention au mot « relatif ». Une incertitude relative n'a pas d'unité et s'exprime souvent en pourcentage. Composer des incertitudes absolues dans un produit, ou des relatives dans une somme, est une erreur d'homogénéité : le résultat n'a même pas la bonne dimension. Avant de composer, demandez-vous : somme ou produit ? absolu ou relatif ?

Énoncé. On utilise le modèle d’un pendule simple aux petites oscillations, avec des estimations de longueur et période supposées indépendantes, pour évaluer la pesanteur par la relation $g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$. (Valeurs construites pour l'exemple, elles ne prétendent reproduire aucune mesure publiée.)

• La longueur $L$ est mesurée une fois au mètre à ruban : $L = 1{,}000$ m, avec une tolérance annoncée de $\pm 3{,}5$ mm sur la lecture, sans autre indication.
• La période $T$ est obtenue par cinq chronométrages indépendants de dix oscillations, dont on tire cinq valeurs de $T$ ; le traitement statistique donne $\bar{T} = 2{,}006$ s et $u(T) = 0{,}004$ s.

1. Évaluer $u(L)$.
2. Calculer $g$ et son incertitude-type $u(g)$, puis écrire le résultat.
3. Quelle grandeur domine le budget ? Que faudrait-il améliorer en priorité ?

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1. Type B pour $L$. La tolérance est une demi-largeur $a = 3{,}5$ mm sans autre information : loi uniforme, et

En relatif : $\dfrac{u(L)}{L} = \dfrac{0{,}0020}{1{,}000} = 0{,}20\ \%$.

2. Produit de puissances. $g = 4\pi^2\,L^{1}\,T^{-2}$ : la constante $4\pi^2$ est exacte, les exposants sont $p = 1$ et $q = -2$. D'abord la valeur :

Puis les incertitudes relatives : $\dfrac{u(T)}{T} = \dfrac{0{,}004}{2{,}006} \approx 0{,}199\ \%$. Composition :

d'où $\dfrac{u(g)}{g} \approx 0{,}446\ \%$ et $u(g) \approx 9{,}811 \times 0{,}00446 \approx 0{,}044$ m·s⁻². Résultat :

Si l'on avait additionné les relatives avec leurs exposants, $0{,}20 + 2 \times 0{,}199 = 0{,}60\ \%$ : un tiers de plus que la composition correcte. Si l'on avait oublié l'exposant de $T$ : $\sqrt{0{,}040 + 0{,}040} = 0{,}28\ \%$, trop petit d’un facteur d’environ 1,59 (0,446/0,28), et non de deux.

3. Le budget. Les deux contributions au carré valent $0{,}040$ pour $L$ et $0{,}159$ pour $T$ : la période pèse quatre fois plus que la longueur, alors que leurs incertitudes relatives sont presque égales — c'est l'exposant $2$ qui fait la différence. Pour améliorer le résultat, il faut donc mieux mesurer $T$ : chronométrer vingt oscillations au lieu de dix divise par deux la contribution du chronométrage si l’incertitude absolue sur le temps total reste identique. Répéter vingt fois au lieu de cinq divise par deux la composante statistique si les observations sont indépendantes et la dispersion inchangée. Améliorer L a un effet moindre, mais non nul : même avec $u(L) = 0$, on aurait $\dfrac{u(g)}{g} \approx 0{,}40\ \%$.

Supprimer la contribution de L ferait passer l’incertitude relative d’environ 0,446 % à 0,40 %, soit une baisse d’environ 10 %.

Contrôle d’ordre de grandeur. La composition ($0{,}446\ \%$) est bien comprise entre la plus grande contribution seule ($0{,}40\ \%$) et la somme ($0{,}60\ \%$). C'est toujours le cas ; si ce ne l'est pas, une erreur s'est glissée dans les carrés.

Les cinq points correspondent aux pesées construites 12,32 ; 12,35 ; 12,33 ; 12,37 ; 12,33 g. Le trait marque leur moyenne 12,34 g. L’accolade relie le minimum au maximum : elle montre l’étendue de 0,05 g, et non l’écart-type. Le calcul donne s = 0,02 g ; sous les hypothèses d’observations indépendantes dans les mêmes conditions, la composante statistique sur la moyenne vaut s/√5 ≈ 0,009 g, demi-largeur de la bande.

La relation en √n lie cette composante de moyenne à s ; elle ne relie pas directement la bande à l’étendue d’un échantillon. Davantage de répétitions n’abolit pas un biais commun ou toutes les composantes instrumentales. Le panneau du bas rappelle le comptage des chiffres, avec des écritures dont la précision est explicite.