Le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : la parabole du projectile

Un ballon frappé, une pierre lancée, un jet d'eau d'arrosage : la trajectoire est une courbe, et elle a l'air compliquée. Elle ne l'est pas. Elle est la superposition de deux mouvements que tu sais déjà décrire séparément, et c'est toute l'idée de cette leçon.

Le point de départ, encore et toujours, est la deuxième loi de Newton. Une fois le projectile lâché, plus rien ne le pousse : la main, la raquette ou le pied n'agissent plus. Si l'on néglige les frottements de l'air, une seule force s'exerce sur lui, son poids. Dans un référentiel terrestre supposé galiléen,

C'est exactement la même conclusion que dans la leçon sur la chute verticale, et pour la même raison : la masse se simplifie. Le vecteur accélération est constant, vertical, dirigé vers le bas, de valeur $g = 9{,}81$ m/s² — quels que soient l'angle du lancer, la vitesse de départ et la masse de l'objet. Un ballon de football et une boule de pétanque lancés de la même façon suivent la même trajectoire.

Ce qui est nouveau : il faut deux axes. Le mouvement ne se fait plus sur une droite. On choisit donc un repère à deux dimensions : un axe horizontal $(Ox)$ dans le sens du lancer, un axe vertical $(Oy)$ orienté vers le haut, l'origine au point de départ. Et l'on projette : le vecteur $\vec{g}$ étant vertical, ses composantes sont

Ce $a_x = 0$ est la clé de tout le chapitre. Il dit qu'aucune force n'agit horizontalement : la composante horizontale de la vitesse ne change pas de tout le vol. Le langage courant suggère le contraire — on croit que le ballon « perd de la vitesse » vers l'avant —, mais c'est l'air qui ferait cela, et on le néglige.

L'indépendance des deux mouvements. Les deux équations $a_x = 0$ et $a_y = -g$ ne se parlent pas : chacune s'intègre de son côté. Le mouvement du projectile est donc la superposition de

• un mouvement rectiligne uniforme selon l'horizontale, à la vitesse constante $v_{0x}$ ;
• un mouvement uniformément accéléré selon la verticale, exactement la chute libre de la leçon précédente.

C'est le principe d'indépendance des mouvements, et il a une conséquence spectaculaire : une bille qui quitte une table horizontalement et une bille qu'on lâche au même instant depuis le bord de cette table touchent le sol en même temps. La vitesse horizontale de la première ne change rien à sa chute. On peut le vérifier avec deux billes et une règle ; c'est l'expérience historique associée à ce chapitre.

Décomposer la vitesse initiale. Si le lancer se fait sous un angle $\alpha$ avec l'horizontale, à la vitesse $v_0$, la trigonométrie de première donne les deux composantes :

Le cosinus va avec l'horizontale, le sinus avec la verticale : c'est le seul point à mémoriser, et il se retrouve en dessinant le triangle rectangle dont $\vec{v}_0$ est l'hypoténuse. Un tir presque horizontal ($\alpha$ petit) a une grande composante horizontale et une petite composante verticale ; un tir presque vertical, l'inverse. Oublier ces cosinus et sinus, c'est-à-dire prendre $v_0$ pour l'une des composantes, est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Les équations horaires. On intègre deux fois chaque composante, avec pour conditions initiales la position $(0\,;\,0)$ et la vitesse $(v_0\cos\alpha\,;\,v_0\sin\alpha)$ :

Quatre expressions, et le mouvement est entièrement connu. Tout le reste — durée du vol, portée, hauteur maximale — s'en déduit en résolvant des équations simples.

Pourquoi une parabole ? Parce que l'on peut éliminer le temps entre les deux équations de position. De la première, $t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$ ; en reportant dans la seconde :

C'est l'équation de la trajectoire : $y$ est une fonction polynomiale de degré 2 de $x$, donc la trajectoire est un arc de parabole, tournée vers le bas. Retiens surtout la démarche : la trajectoire s'obtient en éliminant le temps entre les deux équations horaires, jamais en dérivant ni en intégrant l'une par rapport à l'autre.

Les trois questions classiques, et leur résolution.

Le sommet. Au point le plus haut, la vitesse n'est pas nulle : seule sa composante verticale s'annule, la composante horizontale valant toujours $v_0\cos\alpha$. Le projectile passe donc au sommet en se déplaçant horizontalement. On y est à l'instant $t_s$ tel que $-g\,t_s + v_0\sin\alpha = 0$, soit $t_s = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$.

La flèche — la hauteur maximale — s'obtient en reportant $t_s$ dans $y(t)$ :

La portée — la distance horizontale au point de retombée, lorsque le projectile revient au niveau du lancer — s'obtient en cherchant l'autre solution de $y(t) = 0$. Elle vaut $t_v = \dfrac{2\,v_0\sin\alpha}{g}$, exactement le double de la durée de montée, puis

Ces deux relations, celle de la portée et celle de la flèche, sont données dans les énoncés : on te demande de les utiliser et de les interpréter, pas de les redémontrer. Ce qu'il faut savoir, c'est d'où elles viennent et quand elles s'appliquent : uniquement pour un lancer depuis le sol avec retombée au même niveau. Un tir depuis une falaise ou un panier de basket au-dessus du sol relève d'un autre calcul, à mener avec les équations horaires.

Ce que dit la formule de la portée. Le sinus de $2\alpha$ vaut $1$ au maximum, pour $2\alpha = 90°$, donc pour $\alpha = 45°$ : c'est l'angle qui donne la portée maximale à vitesse initiale donnée. Autre lecture : $\sin(2\alpha)$ prend la même valeur pour $\alpha$ et pour $90° - \alpha$. Un tir à $30°$ et un tir à $60°$, à la même vitesse, retombent au même endroit — mais pas par le même chemin : le second monte bien plus haut et reste plus longtemps en l'air. Enfin, la vitesse initiale intervient au carré : frapper un ballon deux fois plus vite le porte quatre fois plus loin.

La symétrie du vol. Sur un terrain plat, la trajectoire est symétrique par rapport à la verticale du sommet : la montée dure autant que la descente, et la vitesse à l'arrivée a la même valeur qu'au départ, avec un angle égal à $\alpha$ mais orienté vers le bas. Attention : cette symétrie est perdue dès que le point d'arrivée n'est pas à la hauteur du point de départ. Une balle lancée du haut d'une falaise arrive plus vite et plus incliné qu'elle n'est partie.

Le cas particulier du lancer horizontal. Quand $\alpha = 0$ — une bille qui roule et quitte le bord d'une table, une pierre lancée horizontalement du haut d'une falaise —, tout se simplifie. On prend souvent l'axe vertical vers le bas, origine au point de départ :

La durée du vol se calcule d'abord, par le mouvement vertical seul : $z = h$ donne $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ — la vitesse initiale n'y figure pas, ce qui est l'indépendance des mouvements en action. Puis la distance horizontale s'obtient en multipliant cette durée par la vitesse horizontale, $d = v_0\,t$. Toujours dans cet ordre : le vertical donne le temps, l'horizontal donne la distance.

Les bornes de cette leçon. Les frottements de l'air sont négligés : dans la réalité, un ballon de football à $30$ m/s en subit assez pour raccourcir nettement sa portée, et sa trajectoire n'est plus tout à fait une parabole. Aucun effet de rotation n'est étudié. Et l'on ne cherche pas ici l'angle qu'il faudrait donner pour atteindre une cible précise : cette question conduit à une équation du second degré en $\tan\alpha$, hors programme au lycée.

On donne $g = 9{,}81$ m/s² et l'on néglige les frottements de l'air.

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Situation 1 — le lancer horizontal.

Une bille roule sur une table horizontale et en quitte le bord à la vitesse horizontale $v_0 = 2$ m/s. Le bord est à la hauteur $h = 1{,}0$ m au-dessus du sol. On prend un repère d'origine le point de départ, axe $(Ox)$ horizontal dans le sens de $\vec{v}_0$, axe $(Oz)$ vertical vers le bas.

Questions. Combien de temps la bille met-elle à toucher le sol ? À quelle distance du pied de la table tombe-t-elle ?

Système et loi. Système : la bille. Référentiel terrestre supposé galiléen. Après le bord de la table, seule force : le poids. Deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \vec{g}$, donc $a_x = 0$ et $a_z = +g$ avec cette orientation.

Équations horaires. Par intégration, $v_x = v_0$ (constante) et $v_z = g\,t$, puis

Durée du vol — c'est le mouvement vertical qui la donne. Le sol correspond à $z(t_s) = h$ :

Remarque : $v_0$ n'apparaît nulle part. Une bille lâchée sans élan depuis le bord tomberait exactement dans le même temps.

Distance horizontale — c'est le mouvement horizontal qui la donne.

Contrôle. Un peu moins d'un mètre pour une bille qui quitte une table à $2$ m/s : plausible. Et si l'on doublait la vitesse de la bille, la durée ne changerait pas mais la distance doublerait — ce que dit la relation $d = v_0\,t_s$.

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Situation 2 — le tir sous un angle.

Un ballon de football est frappé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 20$ m/s faisant un angle $\alpha = 30°$ avec l'horizontale, et retombe au niveau du sol. On admet que la portée vaut $D = \dfrac{v_0^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ et la flèche $H = \dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$.

Questions. Calculer la portée, la hauteur maximale, la durée du vol, et la valeur de la vitesse au sommet.

Les composantes de la vitesse initiale. $v_{0x} = 20\cos 30° \approx 17{,}3$ m/s et $v_{0y} = 20\sin 30° = 10$ m/s. La composante horizontale est la plus grande : le tir est tendu.

Portée. Avec $2\alpha = 60°$ et $\sin 60° \approx 0{,}8660$ :

Flèche. Avec $\sin 30° = 0{,}5$ donc $\sin^{2} 30° = 0{,}25$ :

Durée du vol. C'est le double de la durée de montée :

Vitesse au sommet. La composante verticale y est nulle, mais pas la vitesse : il reste la composante horizontale, inchangée depuis le départ,

Contrôle. Trente-cinq mètres de portée, cinq mètres de hauteur, deux secondes de vol : les trois valeurs sont cohérentes entre elles et avec un ballon frappé sur un terrain. Et si le même ballon était frappé à $60°$ au lieu de $30°$, la portée serait identique — $\sin 120° = \sin 60°$ — mais la flèche passerait à environ $15{,}3$ m et le vol durerait presque $3{,}5$ s.

Figure (fig.physics.projectile-motion, SVG programmatique à produire) : une grande scène de tir, deux bandeaux de projection, une comparaison d'angles.

La figure en détail : au centre, la trajectoire parabolique d'un ballon frappé depuis le sol dans un repère gradué en mètres, l'axe horizontal allant de zéro à quarante mètres et l'axe vertical de zéro à dix mètres. Le ballon est dessiné à sept positions régulièrement espacées dans le temps, si bien que les positions se resserrent près du sommet et s'écartent près du sol. En chaque position, le vecteur vitesse est tracé tangent à la trajectoire et décomposé en ses deux composantes, la composante horizontale ayant partout exactement la même longueur, la composante verticale diminuant à la montée, s'annulant au sommet, puis croissant vers le bas à la descente. Le vecteur accélération est dessiné en chaque position aussi, identique partout, vertical et vers le bas, y compris au sommet. Au départ, un triangle rectangle montre la vitesse initiale, son angle avec l'horizontale, et ses deux composantes nommées vitesse initiale multipliée par le cosinus de l'angle et vitesse initiale multipliée par le sinus de l'angle. La portée et la flèche sont cotées. Sous la scène, un bandeau montre l'ombre du ballon projetée sur l'axe horizontal aux mêmes sept instants, régulièrement espacée, avec la mention que ce mouvement est uniforme ; à gauche de la scène, un second bandeau vertical montre l'ombre projetée sur l'axe vertical, resserrée en haut et écartée en bas, avec la mention que ce mouvement est celui d'une chute libre. En bas de la figure, deux paraboles superposées pour la même vitesse initiale, l'une à trente degrés et l'autre à soixante degrés, montrent qu'elles retombent au même endroit alors que la seconde monte deux fois plus haut ; une troisième parabole, à quarante-cinq degrés, va le plus loin. Une case barrée d'une croix montre un vecteur accélération dessiné le long de la trajectoire, avec la mention que l'accélération n'a jamais de composante horizontale.

Ce qu'il faut lire. Les deux bandeaux d'ombres sont le cœur de la figure : ils rendent visible l'indépendance des mouvements. Horizontalement, les positions sont régulièrement espacées — mouvement uniforme, aucune accélération. Verticalement, elles se resserrent puis s'écartent — chute libre. La parabole n'est que la combinaison des deux. Les vecteurs vitesse montrent que la composante horizontale ne change jamais et que, au sommet, seule la composante verticale s'annule : la vitesse au sommet n'est pas nulle. Enfin, la comparaison des angles fait voir en un coup d'œil ce que dit la relation de la portée : quarante-cinq degrés porte le plus loin, et deux angles complémentaires portent aussi loin l'un que l'autre.

Les unités et la calculatrice. Vitesses en mètres par seconde, longueurs en mètres, durées en secondes, angles en degrés — pense à vérifier le mode de ta calculatrice avant de prendre un sinus, une erreur de mode fausse tout sans prévenir. Une vitesse donnée en kilomètres par heure se convertit d'abord, en divisant par $3{,}6$.

Les mots. Portée : distance horizontale entre le départ et la retombée au même niveau. Flèche : hauteur maximale au-dessus du point de lancer. Champ de pesanteur uniforme : région où $\vec{g}$ garde même valeur, même direction et même sens — ce qui est vrai à l'échelle d'un terrain de sport, faux à l'échelle d'un satellite.

Ce qui n'est pas au programme ici. Les frottements de l'air, qui déforment la parabole et réduisent la portée réelle ; les effets liés à la rotation du projectile ; la recherche de l'angle de tir permettant d'atteindre une cible donnée, qui conduit à une équation du second degré en $\tan\alpha$.

1. Écrire une accélération horizontale non nulle. Après le lancer, aucune force horizontale n'agit : $a_x = 0$, et la composante horizontale de la vitesse reste la même du départ à l'arrivée. Si ton équation de $x(t)$ contient un terme en $t^{2}$, c'est qu'une accélération horizontale s'y est glissée. Le seul terme en $t^{2}$ du problème est vertical.
2. Oublier le cosinus et le sinus dans les composantes de la vitesse initiale. $v_0$ n'est ni $v_{0x}$ ni $v_{0y}$ : c'est la longueur de l'hypoténuse du triangle qu'ils forment. Cosinus pour l'horizontale, sinus pour la verticale. Dessine le triangle si tu hésites — trois secondes qui sauvent un exercice.
3. Confondre l'angle de tir et l'angle d'arrivée. Sur un terrain plat, les deux ont la même valeur, mais l'un est orienté vers le haut et l'autre vers le bas. Et dès que le point d'arrivée est plus bas que le point de départ — falaise, table, panier —, l'angle d'arrivée est plus grand que l'angle de tir, et la vitesse d'arrivée plus grande que la vitesse de départ. La symétrie n'est vraie qu'entre deux points de même hauteur.
4. Croire que la vitesse est nulle au sommet. Seule la composante verticale s'y annule. Il reste la composante horizontale $v_0\cos\alpha$, inchangée : au sommet, le projectile se déplace horizontalement, souvent assez vite. Une vitesse nulle au sommet ne se produit que pour un lancer strictement vertical.
5. Appliquer la relation de la portée hors de son domaine. $D = v_0^{2}\sin(2\alpha)/g$ suppose un départ et une arrivée à la même hauteur. Pour un tir depuis un balcon, une falaise ou une table, il faut revenir aux équations horaires et chercher l'instant où l'altitude atteint celle du sol.
6. Faire intervenir la masse. Elle se simplifie dans $m\vec{g} = m\vec{a}$ : à même vitesse initiale et même angle, une boule de pétanque et une balle de tennis suivent la même trajectoire tant que l'air est négligé. Si la masse apparaît dans ton résultat, une erreur s'est produite.
7. Traiter le lancer horizontal dans le mauvais ordre. La durée du vol vient du mouvement vertical seul ; ensuite seulement on multiplie par la vitesse horizontale pour obtenir la distance. Chercher la distance en premier oblige à des détours et fait souvent oublier que la vitesse initiale n'influence pas la durée de chute.
8. Laisser la calculatrice en radians. $\sin 30°$ vaut $0{,}5$ ; $\sin 30$ radians vaut environ $-0{,}988$. Le résultat est faux, parfois négatif, et rien ne le signale. Vérifie le mode avant le premier sinus.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de cinq variantes. Trois portent sur un lancer depuis le sol sous un angle — portée, flèche ou durée totale du vol —, l'énoncé donnant les relations de la portée et de la flèche ainsi que la valeur de $g$. Deux portent sur un lancer horizontal depuis une hauteur — une bille qui quitte une table, une pierre lancée du haut d'une falaise — et demandent la durée du vol ou la distance horizontale parcourue. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, travaille les idées : vitesse au sommet, accélération horizontale nulle, angle à la retombée, composantes de la vitesse initiale, effet d'un doublement de la vitesse initiale, angle de portée maximale.

Énoncé type. Un ballon de football est frappé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 20$ m/s faisant un angle $\alpha = 30°$ avec l'horizontale et retombe au niveau du sol. On donne $g = 9{,}81$ m/s² et l'on néglige les frottements de l'air. On admet que, pour un lancer depuis le sol avec retombée au même niveau, la portée vaut $D = \dfrac{v_0^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ et la hauteur maximale (flèche) $H = \dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$. Calculer la portée $D$ du lancer. Répondre en m, avec 3 chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Identifier la relation et vérifier son domaine. Le lancer part du sol et retombe au niveau du sol : la relation donnée s'applique.

2. Calculer les ingrédients.

3. Substituer.

Réponse : la portée vaut environ $35{,}3$ m.

4. Contrôler. Trente-cinq mètres pour un ballon frappé à $20$ m/s, soit $72$ km/h : c'est l'ordre de grandeur d'un dégagement sur un terrain de football, donc crédible. On peut aussi vérifier par la durée du vol : $t_v = 2 v_0\sin\alpha/g \approx 2{,}04$ s, et $D = v_0\cos\alpha \times t_v \approx 17{,}3 \times 2{,}04 \approx 35{,}3$ m — les deux chemins concordent.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Ma calculatrice est-elle bien en degrés ? Ai-je pris le sinus de $2\alpha$, et non celui de $\alpha$ ? Ai-je élevé $v_0$ au carré ? Et la portée trouvée est-elle vraisemblable pour l'objet décrit — quelques dizaines de mètres pour un ballon, quelques mètres pour une boule de pétanque ?