Pression et statique des fluides : le poids de ce qu'il y a au-dessus

Une punaise s'enfonce dans le bois sous la pression du pouce ; le même pouce, appuyé à plat sur la planche, ne laisse aucune trace. La force est la même ; ce qui change, c'est la surface sur laquelle elle s'exerce. La grandeur qui rend compte de cet effet est la pression.

Pression. Lorsqu'une force pressante $\vec{F}$ s'exerce perpendiculairement à une surface plane d'aire $S$, en se répartissant uniformément, la pression exercée est $p = \dfrac{F}{S}$. Elle s'exprime en pascals (Pa) : $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$.

Le pascal est une petite unité — une feuille de papier posée sur une table exerce environ $1$ Pa. On utilise donc l'hectopascal ($1$ hPa $= 100$ Pa) et le bar ($1$ bar $= 10^5$ Pa). La pression atmosphérique normale vaut $p_{\text{atm}} = 1{,}013 \times 10^{5}$ Pa, soit $1013$ hPa, soit à peu près $1$ bar.

Un fluide au repos exerce une pression partout. Un fluide — gaz ou liquide — est fait de molécules en agitation incessante. Sur une paroi, chaque choc pousse un peu ; des milliards de chocs par seconde donnent une force perpendiculaire à la paroi, quelle que soit son orientation — c'est l'interprétation microscopique de la pression, celle du programme. Un fluide au repos ne « pousse » pas dans une direction privilégiée : il pousse sur toute surface plongée en lui, perpendiculairement à elle, et si la pression est uniforme sur une surface plane $S$, la force pressante vaut $F=pS$. Sinon, il faut prendre en compte la variation de pression sur la surface. Sur votre main à plat, l'air appuie avec $1{,}013 \times 10^5 \times 0{,}015 \approx 1500$ N — le poids de $150$ kg — sans que vous le ressentiez, parce que le sang et les tissus poussent tout autant en sens inverse.

La pression augmente avec la profondeur. Sous l'eau, chaque mètre de descente pèse sur les oreilles. Ce qui s'ajoute, c'est le poids de la colonne de fluide située au-dessus. Le programme l'écrit avec un axe $z$ vertical ascendant :

Loi fondamentale de la statique des fluides. Dans un fluide au repos, homogène, approximé incompressible avec masse volumique $\rho$ constante, sous un champ de pesanteur uniforme, entre deux points $A$ et $B$ d'altitudes $z_A$ et $z_B$ : $p_B - p_A = \rho\,g\,(z_A - z_B)$.

Lisez-la comme une phrase : plus bas de $h$ mètres, la pression est plus grande de $\rho g h$. Pour l'eau ($\rho = 1000$ kg/m³), $\rho g h \approx 10^4$ Pa par mètre : $10$ m d'eau ajoutent environ $1$ bar — l'équivalent de toute l'atmosphère. Deux conséquences immédiates : dans le même liquide homogène à l’équilibre et sous la même pression de surface, la pression est identique à profondeur égale, indépendamment de la forme du récipient. La surface libre est horizontale sous un champ de pesanteur uniforme et une pression extérieure uniforme, effets capillaires négligés.

Un gaz se comprime. Aux pressions considérées ici, le volume d’un liquide varie peu : nous le modélisons incompressible. Un gaz se comprime beaucoup plus facilement. Robert Boyle et Edme Mariotte ont établi qu'à température constante, une quantité de gaz donnée garde le produit de sa pression par son volume :

Loi de Mariotte. À température constante, pour une quantité fixée de gaz assimilé au modèle idéal dilué et avec des pressions absolues, $p \times V = \text{constante}$, soit $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Doubler la pression, c'est diviser le volume par deux. Le ballon d'un plongeur gonfle en remontant ; la seringue bouchée résiste de plus en plus fort quand on l'enfonce.

La démonstration par la colonne. Isolez par la pensée, dans un liquide au repos, une colonne verticale de section $S$ et de hauteur $h$, entre un point $A$ en haut et un point $B$ en bas. Elle est immobile : les forces qui s'exercent sur elle se compensent (principe d'inertie). Verticalement, trois forces. Le liquide du dessus pousse la face supérieure vers le bas avec $p_A \times S$ ; le liquide du dessous pousse la face inférieure vers le haut avec $p_B \times S$ ; le poids de la colonne, $m g = \rho V g = \rho S h g$, tire vers le bas. Les forces latérales se compensent deux à deux par symétrie. L'équilibre vertical s'écrit

La section $S$ s'est simplifiée : la loi ne dépend pas de la largeur de la colonne — ni, plus généralement, de la forme du récipient. Ce n'est pas la quantité d'eau au-dessus qui compte, c'est sa hauteur. Un tube fin et un lac de même liquide, de $10$ m de profondeur, soumis à la même pression de surface et au même $g$, donnent au fond la même pression : c'est le paradoxe hydrostatique, et c'est la loi qui le lève.

Pourquoi « incompressible » et « au repos ». La démonstration suppose $\rho$ constante sur toute la hauteur — approximation appropriée pour le liquide et la plage étudiés, mais généralement insuffisante pour l’atmosphère sur une grande hauteur, où l'air du bas, comprimé par celui du haut, est plus dense : la pression atmosphérique ne décroît pas linéairement avec l'altitude, mais de plus en plus lentement. Et elle suppose l'équilibre : dans un fluide en mouvement, d'autres termes apparaissent (Terminale et au-delà). La loi porte ses conditions dans son nom.

Pression totale, pression due au fluide. À la profondeur $h$ sous une surface libre à l'air, $p = p_{\text{atm}} + \rho g h$. Le terme $\rho g h$ est la pression due à l'eau ; la pression totale y ajoute l'atmosphère qui pèse sur la surface — un plongeur à $10$ m subit $2$ bar, pas $1$. Les exercices demandent tantôt l'une, tantôt l'autre, et le disent : lisez la question. La différence de pression entre les deux faces du tympan vaut $\rho gh$ dans le modèle où la pression interne est restée égale à celle de la surface ; ce n’est pas une description universelle de toute plongée.

Le vocabulaire microscopique. À l'échelle des molécules, un gaz est surtout du vide : des particules qui se déplacent en ligne droite entre deux chocs. La pression est l'effet moyen de leurs chocs sur une paroi ; la température est liée à leur agitation. Comprimer un gaz à température constante rapproche les molécules : davantage de chocs par seconde sur chaque centimètre carré, donc plus de pression — c'est le contenu physique de la loi de Mariotte. Chauffer sans changer le volume rend les chocs plus violents : plus de pression aussi, mais ce n'est plus Mariotte, qui exige une température constante.

Le domaine de Mariotte. La relation suppose une quantité de gaz conservée, une température constante et des pressions absolues, pour un gaz suffisamment proche du modèle idéal. Sa précision dépend du gaz, de la température et de la pression : aucun seuil universel en bars ne la garantit. Une pression manométrique indique un écart à la pression extérieure et ne doit pas être substituée directement à $p$ dans cette relation.

Énoncé. Un plongeur descend à une profondeur $z = 25$ m en mer. La masse volumique de l'eau de mer vaut $\rho = 1025$ kg/m³ ; on donne $p_{\text{atm}} = 1{,}013 \times 10^{5}$ Pa et $g = 9{,}81$ N/kg.

Questions. 1. Calculer la pression due à l'eau à cette profondeur, puis la pression totale. 2. Calculer la force pressante extérieure sur une petite vitre plane de masque de $60$ cm², en supposant la pression extérieure uniforme à cette profondeur ; on ne demande pas la résultante des actions sur ses deux faces. 3. Le plongeur gonfle à cette profondeur un ballon souple de $V_1 = 2{,}0$ L d'air et le laisse remonter ; dans un modèle de remontée lente sans fuite, à température constante, gaz idéal et paroi de tension négligeable, calculer son volume à la surface. La pression interne est alors assimilée à la pression extérieure.

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1. La pression. Nous supposons $g$ et $\rho$ constants et le liquide à l’équilibre. Les données sont traitées comme valeurs du modèle, puis les réponses sont arrondies à trois chiffres significatifs par convention de cet exercice. Pression due à l’eau, sans arrondi intermédiaire :

Pression totale :

Soit $3{,}5$ bar environ : $1$ bar d'atmosphère et $2{,}5$ bar d'eau — la règle « un bar tous les dix mètres » donne bien $2{,}5$ bar pour $25$ m. La question 1 demandait les deux nombres ; un énoncé qui n'en demande qu'un le nomme.

2. La force sur la vitre. $S = 60$ cm² $= 60 \times 10^{-4}$ m² $= 6{,}0 \times 10^{-3}$ m². La force pressante est perpendiculaire à la vitre, dirigée vers le visage :

Plus de deux mille newtons pour cette force extérieure. Une force pressante interne peut s’y opposer ; la résultante dépend de la différence des pressions sur les deux faces. Le calcul précédent ne fournit donc pas à lui seul l’effort résultant sur le masque.

3. La loi de Mariotte. L'air du ballon est une quantité fixée, à température constante : $p_1 V_1 = p_2 V_2$, avec $p_1 = 352\,681{,}25$ Pa en profondeur et $p_2 = p_{\text{atm}} = 101\,300$ Pa en surface.

Le ballon de $2{,}0$ L en atteint près de $7$ L en surface : son volume est multiplié par le rapport des pressions, $3{,}48$. Les litres sont restés des litres — la loi est un produit, la même unité de volume des deux côtés suffit.

Le ballon est ici un modèle fermé de gaz idéal avec paroi sans tension ; l’anatomie des poumons et les procédures de plongée ne se déduisent pas de ce calcul.

4. Contrôler. Unités de $\rho g z$ : kg/m³ × N/kg × m $=$ N/m² $=$ Pa ✔. Pression totale supérieure à $p_{\text{atm}}$ ✔. Volume final supérieur au volume initial, la pression ayant diminué ✔. Arrondis faits en dernier, à trois chiffres significatifs selon la convention annoncée ✔.

Lisez les bilans. À gauche, la colonne est en équilibre : la force du bas compense la force du haut et le poids. Le dessin utilise une échelle simplifiée de1 bar en surface et0,1 bar supplémentaire par mètre. Au centre, les récipients ont même liquide, même hauteur et même pression de surface : leur forme ne change pas la pression au fond.

À droite, les valeurs simplifiées3,5/2/1 bar et2/3,5/7 L donnent le même produit7 bar·L. Elles illustrent un gaz idéal fermé à température constante, sous pressions absolues, avec paroi de tension négligeable. Le volume7 L de la figure est un arrondi illustratif, distinct du calcul6,96 L de l’exemple.