Énergie cinétique et énergie de position : le carré qui change tout

Un objet possède de l'énergie quand il est capable de produire un effet : mettre quelque chose en mouvement, le déformer, le chauffer. L'énergie se mesure en joules (symbole J), et ses multiples usuels sont le kilojoule ($1\ \text{kJ} = 1000\ \text{J}$) et le mégajoule ($1\ \text{MJ} = 10^{6}\ \text{J}$).

Deux formes d’énergie sont étudiées ici.

1. L'énergie cinétique : l'énergie du mouvement. Un objet qui se déplace peut, en heurtant un obstacle, le déformer ou le déplacer. Cette énergie vaut

avec $E_c$ en joules (J), $m$ en kilogrammes (kg) et $v$ en mètres par seconde (m/s).

Dans le modèle d’un point matériel ou d’un corps en translation, à vitesse très inférieure à celle de la lumière, cette expression dépend de la masse et de la vitesse mesurée dans un référentiel choisi. Un camion à l’arrêt dans le référentiel de la route y a une énergie cinétique de translation nulle. Pour un objet qui tourne, cette formule seule ne donne pas nécessairement toute son énergie cinétique.

Le mécanisme le plus important de cette leçon : la vitesse est au carré. Ce n'est pas un détail d'écriture. Si la vitesse est multipliée par 2, $v^2$ est multiplié par $2^2 = 4$ : l'énergie cinétique est quadruplée, pas doublée. Multipliée par 3, elle est multipliée par 9.

Le facteur 4 est ici une conséquence directe du carré dans la formule. Il ne signifie pas que la force d’impact soit simplement doublée : cette force dépend aussi de la durée du choc et des déformations. La justification par le travail d’une force sera approfondie au lycée.

2. L'énergie potentielle de pesanteur : l'énergie de la position. Un objet placé en hauteur peut tomber, et sa chute le mettra en mouvement. Il possède donc déjà de l'énergie, avant même de bouger. Cette énergie est donnée par la relation

avec $E_{pp}$ en joules (J), $m$ en kilogrammes (kg), $g$ en newtons par kilogramme (N/kg) et $h$ la hauteur en mètres (m).

Dans les exercices de ce cours au collège, cette relation est fournie dans l’énoncé : il faut savoir l’utiliser. Seule $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ est à connaître par cœur.

Le mécanisme du lien entre les deux. Quand l'objet tombe, sa hauteur diminue donc $E_{pp}$ diminue ; sa vitesse augmente donc $E_c$ augmente. L'énergie n'apparaît pas et ne disparaît pas : elle se convertit d'une forme dans l'autre.

Deux réflexes à installer : la vitesse se met en m/s avant tout calcul, et la hauteur se compte à partir d'une référence qu'on précise.

La conversion km/h → m/s est la première étape, toujours. Les vitesses de la vie courante sont en km/h, la formule exige des m/s :

Oublier cette division ne fait pas une petite erreur : elle donne un résultat $3{,}6^2 \approx 13$ fois trop grand.

Le carré de la vitesse, en chiffres. Pour une voiture de 1200 kg :

La vitesse est multipliée par 2, l'énergie par 4 ; par 3, l'énergie par 9. Multiplier la masse par 2, en revanche, ne multiplie l'énergie que par 2 : la masse n'est pas au carré.

La conséquence : la distance de freinage. Pour arrêter un véhicule, les freins doivent « absorber » toute son énergie cinétique, en la convertissant en chaleur dans les disques et les pneus. À force moyenne de freinage identique, pour une même masse et dans les mêmes conditions de route et d’adhérence, la distance de freinage est proportionnelle à l’énergie cinétique initiale, donc au carré de la vitesse. Dans ce modèle, doubler la vitesse multiplie cette distance par quatre. (La distance de freinage réelle dépend aussi de l'état de la route, des pneus et du véhicule ; et pour obtenir la distance d'arrêt, il faut encore lui ajouter la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur.)

La référence de l'énergie potentielle. $h$ n'est pas « la hauteur de l'objet » dans l'absolu : c'est sa hauteur au-dessus d'un niveau que l'on choisit et que l'on annonce. Un plongeur sur un plongeoir est à 5 m au-dessus de l'eau, mais à 8 m au-dessus du fond du bassin. Selon la référence choisie, $E_{pp}$ n'a pas la même valeur — et ce n'est pas gênant, parce que ce qui compte physiquement, c'est la variation de $E_{pp}$ pendant le mouvement. Un choix commode, sans être obligatoire, consiste à placer le zéro au niveau final : on y a alors $E_{pp} = 0$. Tout autre niveau convient si la même référence est conservée dans le bilan.

Les chaînes énergétiques. Écrire une conversion, c'est indiquer le réservoir de départ, le réservoir d'arrivée et la forme transférée :

• une chute libre : $E_{pp} \longrightarrow E_c$ ;
• un freinage : $E_c \longrightarrow$ énergie thermique (les freins chauffent) ;
• un vélo qui monte une côte : énergie du cycliste $\longrightarrow E_{pp}$ ;
• un barrage hydroélectrique : $E_{pp}$ de l'eau $\longrightarrow E_c$ de l'eau $\longrightarrow$ énergie électrique.

Tant qu'on peut négliger les frottements, la somme $E_c + E_{pp}$ reste constante pendant la chute : ce que l'un perd, l'autre le gagne. Avec des frottements (l'air, l'eau), une partie part en énergie thermique et cette somme diminue. Le bilan complet, avec la notion d'énergie mécanique, se formalisera en première.

Ordres de grandeur (à garder en tête pour repérer un résultat aberrant) : un ballon de football tiré à 100 km/h, environ 170 J ; un piéton qui marche, environ 70 J ; une voiture à 90 km/h, environ 375 kJ ; un camion de 12 t à 80 km/h, environ 3000 kJ, soit plusieurs dizaines de milliers de fois l'énergie du piéton.

Un caillou de masse $m = 1{,}50$ kg est posé au bord d'une falaise, à $h = 12{,}0$ m au-dessus du sol. Il est lâché sans vitesse initiale et tombe. On donne $g = 9{,}81$ N/kg et la relation $E_{pp} = m \times g \times h$. On néglige les frottements de l'air, et on prend le sol comme référence des hauteurs.

1. Son énergie potentielle de pesanteur au départ. Toutes les grandeurs sont déjà en unités SI : $m = 1{,}50$ kg, $h = 12{,}0$ m.

2. Son énergie cinétique au départ. Le caillou est immobile, donc $v = 0$ et

Toute son énergie est « en réserve », sous forme d'énergie de position.

3. À mi-hauteur ($h = 6{,}00$ m).

Il a perdu la moitié de son énergie de position ; comme rien ne se perd (frottements négligés), elle est devenue énergie cinétique :

On en déduit sa vitesse en isolant $v$ dans $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ :

4. Juste avant de toucher le sol ($h = 0$).

Toute l'énergie de position est devenue énergie cinétique. La vitesse d'arrivée :

En km/h, à partir de la valeur non arrondie ($\sqrt{235{,}44} = 15{,}344\ldots$ m/s) : $15{,}344 \times 3{,}6 \approx 55{,}2$ km/h. En repartant de 15,3 déjà arrondi, la calculatrice affiche 55,1 : c'est exactement l'effet d'un arrondi intermédiaire, et la raison pour laquelle on n'arrondit qu'à la fin. Un caillou d'un kilo et demi arrivant à 55 km/h : on comprend les panneaux « chutes de pierres ».

5. Le bilan dans un tableau.

La dernière colonne de somme ne bouge pas : c'est la signature d'une conversion d'énergie, et non d'une création. La chaîne s'écrit $E_{pp} \longrightarrow E_c$.

6. Et à l'impact ? L'énergie cinétique ne disparaît pas davantage : elle se convertit en déformation du sol, en son, et en énergie thermique. Elle change encore de forme, elle ne s'évanouit pas.

Vérification par une autre voie : la vitesse finale peut se retrouver sans passer par l'énergie du caillou, car sa masse se simplifie. En effet $\frac{1}{2} m v^2 = m g h$ donne $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 12{,}0} = \sqrt{235{,}44} \approx 15{,}3$ m/s. Même résultat — et la conclusion est frappante : un caillou de 1,5 kg et un rocher de 150 kg lâchés sans vitesse initiale de la même hauteur, sous le même g et sans résistance de l’air, arrivent à la même vitesse ; seule leur énergie diffère.

La figure suit le caillou de 1,50 kg lâché depuis 12,0 m, sans résistance de l’air. Le sol fixe la référence de l’énergie potentielle. Aux trois positions, les deux barres représentent respectivement 177 J et 0 J, puis 88,3 J et 88,3 J, puis 0 J et 177 J. Les hachures distinguent l’énergie cinétique.

La somme reste environ 177 J : l’énergie potentielle se convertit en énergie cinétique. À mi-hauteur, la moitié de l’énergie initiale est devenue cinétique, mais la vitesse est environ 10,8 m/s, soit 71 % de la vitesse finale de 15,3 m/s. La moitié de l’énergie ne correspond pas à la moitié de la vitesse, car celle-ci intervient au carré.