Le vecteur accélération : décrire comment la vitesse change

Dans la leçon précédente, vous avez appris à décrire un mouvement avec le vecteur vitesse : une valeur, une direction tangente à la trajectoire, un sens. Cela suffit à dire où va le mobile et à quelle allure. Cela ne suffit pas à dire ce qui lui arrive.

Le problème. Considérez trois situations. Une voiture démarre : sa vitesse grandit. Une voiture freine : sa vitesse diminue. Une voiture prend un virage sans toucher aux pédales : sa vitesse garde la même valeur, mais sa direction tourne. Dans les trois cas, le vecteur vitesse change, et il change de trois manières différentes. Le langage courant n'a qu'un mot, « accélérer », et il ne l'emploie que dans le premier cas. La physique a besoin d'une grandeur qui décrive les trois d'un seul coup, et qui les distingue.

La grandeur, c'est la variation du vecteur vitesse rapportée à la durée. Entre deux instants voisins $t$ et $t + \Delta t$, on forme la différence des deux vecteurs vitesse, notée $\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)$, puis on la divise par la durée écoulée.

Vecteur accélération. Pour un système modélisé par un point $M$,

$$\vec{a}(t) \approx \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)}{\Delta t},$$

le quotient tendant vers la dérivée lorsque $\Delta t$ tend vers zéro dans un modèle dérivable à vitesses exactes. Avec des données mesurées, la précision dépend aussi du bruit et de la résolution temporelle. On dit que le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Ce que cette définition impose. Trois conséquences, à lire directement sur la formule.

L’accélération moyenne sur l’intervalle a la direction et le sens de $\Delta \vec{v}$ si ce vecteur est non nul. Sa direction approche celle de l’accélération instantanée lorsque l’intervalle tend vers zéro et que cette dernière est non nulle ; l’égalité n’est pas générale pour un intervalle fini. Le vecteur accélération pointe donc là où la vitesse « se dirige en changeant » — pas nécessairement là où va le mobile.

L'unité est le mètre par seconde carrée, notée m/s². C'est une vitesse (en mètres par seconde) divisée par une durée (en secondes) : des mètres par seconde, par seconde. Une composante d’accélération constante $a_x = 2$ m/s² fait croître la composante $v_x$ de 2 m/s chaque seconde. Cela ne décrit pas en général la variation de la norme : en mouvement circulaire uniforme, la norme de la vitesse reste constante malgré une accélération non nulle. Écrire une accélération en mètres par seconde est une faute d'unité, pas une maladresse d'écriture : la grandeur n'est pas la même.

Le vecteur accélération peut être non nul alors que la vitesse est nulle, et nul alors que la vitesse est grande. Une balle lancée verticalement vers le haut a, au sommet, une vitesse nulle pendant un instant : pourtant sa vitesse continue de varier, l'accélération y vaut $9{,}81$ m/s² vers le bas. À l'inverse, un train lancé à $300$ km/h sur une voie droite à vitesse constante a une accélération nulle. Vitesse et accélération sont deux grandeurs indépendantes : l'une dit comment on va, l'autre comment cela change.

Pourquoi cette grandeur-là, et pas une autre. Parce que c'est elle, et non la vitesse, que la nature relie aux forces. La deuxième loi de Newton énonce que, dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un point matériel, ou au centre de masse d’un système de masse constante $m$ est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération :

Cette égalité est le fil de tout le chapitre. Elle relie la cause — les forces — à l'effet — la façon dont le vecteur vitesse change. Elle explique pourquoi la mécanique s'intéresse à l'accélération : connaître les forces, c'est connaître $\vec{a}$ ; et connaître $\vec{a}$, vous le verrez dans les trois leçons suivantes, c'est pouvoir reconstruire la vitesse puis la trajectoire. Ici, on apprend seulement à décrire $\vec{a}$ ; ensuite on l'utilisera pour le mouvement rectiligne uniformément accéléré, puis pour un projectile dans le champ de pesanteur, enfin pour un satellite. Une seule loi, trois situations.

Un mot sur le cadre : dans toute cette progression, le référentiel d'étude — terrestre, ou géocentrique pour les satellites — est supposé galiléen. On l'admet. Les référentiels en rotation, où apparaissent des forces supplémentaires liées au mouvement du référentiel lui-même, ne sont pas au programme du lycée.

Le vecteur accélération dit comment la vitesse change. Or la vitesse peut changer de valeur, changer de direction, ou les deux. Il est donc naturel de découper $\vec{a}$ en deux morceaux, chacun responsable d'un effet.

Le repère de Frenet. Sur une trajectoire suffisamment régulière, aux points où la vitesse est non nulle, on choisit les directions liées au mouvement lui-même : la tangente, portée par le vecteur vitesse, et la normale, perpendiculaire à la tangente et dirigée vers le centre de courbure — c'est-à-dire vers l'intérieur du virage. On décompose le vecteur accélération sur ces deux directions :

• la composante tangentielle $a_t$ fait varier la valeur de la vitesse. Elle est positive quand le mobile prend de la vitesse, négative quand il ralentit, nulle quand la valeur de la vitesse ne change pas ;
• la composante normale $a_n$ fait tourner la direction de la vitesse. Elle est toujours dirigée vers l'intérieur de la courbe, jamais vers l'extérieur, et elle vaut

où $v$ est la valeur de la vitesse et $R$ le rayon du cercle qui épouse la trajectoire au point considéré.

Les deux composantes étant perpendiculaires, la valeur du vecteur accélération se calcule par le théorème de Pythagore :

Les quatre cas qu'il faut savoir reconnaître.

Mouvement rectiligne uniforme. La trajectoire est droite, la valeur de la vitesse est constante : rien ne change dans $\vec{v}$, donc $\vec{a} = \vec{0}$. Si l’accélération est nulle sur tout un intervalle, le vecteur vitesse est constant sur cet intervalle : cela inclut le repos. Une accélération nulle à un seul instant ne suffit pas à conclure à un mouvement uniforme, par exemple pour v(t)=t³ à t=0.

Mouvement rectiligne accéléré ou freiné. La trajectoire est droite, donc il n'y a pas de courbure et $a_n = 0$ ; seule subsiste la composante tangentielle. Le vecteur accélération est colinéaire à la vitesse : de même sens si le mobile prend de la vitesse, de sens opposé s'il ralentit. Sur un axe orienté dans le sens du mouvement, on travaille alors avec la valeur algébrique de l'accélération moyenne,

positive quand le mobile accélère, négative quand il freine. Le signe porte l'information : il ne s'oublie pas.

Mouvement circulaire uniforme. La valeur de la vitesse ne change pas, donc $a_t = 0$ ; mais la direction tourne sans cesse, donc $a_n$ n'est pas nulle. Le vecteur accélération est entièrement normal : perpendiculaire à la vitesse, dirigé vers le centre du cercle, de valeur $v^{2}/R$. C'est le point le plus contre-intuitif du chapitre, et le premier piège du programme : « uniforme » ne veut pas dire « sans accélération ». Uniforme qualifie la valeur de la vitesse, pas le vecteur.

Mouvement circulaire non uniforme. Les deux composantes existent : le mobile va de plus en plus vite (ou de moins en moins) tout en tournant. C'est le cas d'une voiture qui accélère dans un virage, et c'est là que le théorème de Pythagore sert.

Comment lire $a_n = v^2/R$. Deux choses y sont dites. D'une part, plus le virage est serré — $R$ petit —, plus l'accélération normale est grande : c'est pourquoi une chicane secoue davantage qu'une longue courbe. D'autre part, la vitesse intervient au carré : rouler deux fois plus vite dans le même virage quadruple l'accélération normale, donc quadruple la force qu'il faut exercer pour tenir la trajectoire, d'après la deuxième loi de Newton. Cela n'a rien d'une curiosité de cours : c'est la raison physique des panneaux de limitation à l'entrée des virages.

Une variation de vecteur se construit. Quand l'énoncé fournit une trajectoire pointée avec deux vecteurs vitesse successifs, on obtient $\Delta \vec{v}$ en reportant $-\vec{v}(t)$ à la suite de $\vec{v}(t + \Delta t)$, ou en joignant les extrémités des deux vecteurs placés à la même origine. Dans un mouvement circulaire uniforme, la variation finie est radiale à la position angulaire médiane entre les deux dates. À la limite, sa direction rejoint celle de l’accélération instantanée, vers le centre au point considéré : la formule $a_n = v^2/R$ n'est pas tombée du ciel, elle se voit sur le dessin. Cette construction graphique se fait à la règle sur une chronophotographie ; la leçon en donne le principe, l'exercice associé travaille les valeurs.

Trois situations courtes, dans l'ordre où les exercices les présentent.

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Situation 1 — accélération moyenne lue dans un tableau.

Une voiture se déplace sur une route rectiligne. On oriente l'axe du mouvement dans le sens du déplacement et l'on relève la valeur algébrique de sa vitesse :

Question. Calculer la valeur algébrique de l'accélération moyenne entre $t_1 = 2$ s et $t_2 = 6$ s.

Résolution. L'accélération moyenne est le quotient de la variation de vitesse par la durée :

La composante moyenne est positive : la vitesse algébrique a augmenté entre les deux dates. Une accélération instantanée positive pendant tout l’intervalle exige une hypothèse supplémentaire sur le mouvement entre les relevés. On remarque que le même calcul entre deux autres lignes du tableau donne la même valeur — de $0$ à $8$ s, $(16 - 4)/8 = 1{,}5$ m/s² également. Le tableau donne des accélérations moyennes égales sur ces intervalles, compatibles avec le modèle affine v(t)=4+1,5t. Si l’on adopte ce modèle entre les relevés, l’accélération instantanée est constante ; les seuls points du tableau ne prouvent pas ce comportement à chaque instant.

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Situation 2 — accélération d'un mouvement circulaire uniforme.

Une voiture aborde un virage circulaire de rayon $R = 50$ m à la vitesse constante $v = 15$ m/s. Le mouvement est circulaire uniforme.

Question. Calculer la valeur de l'accélération de la voiture.

Résolution. Attention au réflexe : la valeur de la vitesse ne change pas, mais sa direction tourne, donc le vecteur vitesse varie et l'accélération n'est pas nulle. Comme $a_t = 0$, l'accélération est entièrement normale :

Ce vecteur est dirigé vers le centre du virage, perpendiculairement à la vitesse. Sa valeur, $4{,}5$ m/s², est de l'ordre de la moitié de $g$ : le calcul fournit une accélération importante. Le maintien réel de la trajectoire dépend notamment de l’adhérence et du véhicule ; ce nombre seul ne garantit pas qu’un virage soit tenable.

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Situation 3 — les deux composantes ensemble.

Dans un virage, une voiture accélère. On décompose le vecteur accélération dans le repère de Frenet : une composante tangentielle $a_t$, portée par la vitesse, et une composante normale $a_n$, perpendiculaire à la vitesse et dirigée vers le centre de courbure. À un instant donné, $a_t = 1{,}5$ m/s² et $a_n = 2{,}0$ m/s².

Question. Calculer la valeur $a$ du vecteur accélération à cet instant.

Résolution. Les deux composantes sont perpendiculaires :

Interprétation : la composante tangentielle, $1{,}5$ m/s², fait gagner de la vitesse ; la composante normale, $2{,}0$ m/s², fait tourner la voiture. Le vecteur total, $2{,}5$ m/s², est incliné vers l'intérieur du virage — ni tangent, ni radial.

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Contrôler ses trois résultats. L'unité est-elle bien en m/s² dans les trois cas ? Le signe de l'accélération moyenne correspond-il à ce que fait le mobile — positif s'il prend de la vitesse, négatif s'il ralentit ? La valeur de $a_n$ est-elle plausible : quelques mètres par seconde carrée pour une voiture, jamais des centaines ? Et la norme est-elle bien supérieure ou égale à la valeur absolue de chaque composante, comme l’exige Pythagore ?

Les quatre vignettes distinguent une vitesse vectorielle constante, une augmentation ou une diminution d’allure sur une droite, et un mouvement circulaire uniforme. Dans ce dernier cas, l’accélération instantanée est normale et vaut 15²/50 = 4,5 m/s². Le repos peut aussi correspondre à une accélération nulle sur un intervalle.

La construction de Δv entre les deux dates du cercle donne une variation finie : sa direction est radiale à la position angulaire médiane, pas exactement à chaque extrémité. Le passage à la limite restitue l’accélération instantanée au point étudié. L’encadré de Frenet illustre le triangle 1,5 ; 2,0 ; 2,5 m/s². En général, la norme est comprise entre la plus grande valeur absolue des composantes et la somme de leurs valeurs absolues, avec égalités possibles.