La loi de Coulomb : la jumelle électrique de la gravitation

Frottez une règle en plastique sur un pull et approchez-la de petits bouts de papier : ils sautent vers elle. Frottez deux ballons de baudruche et approchez-les l'un de l'autre : ils s'écartent. Une même cause — l'électrisation — produit tantôt une attraction, tantôt une répulsion. Aucune interaction vue jusqu'ici ne sait faire les deux : la gravitation, elle, ne fait qu'attirer. La différence tient à la grandeur qui commande l'interaction.

La charge électrique $q$ est une grandeur physique qui peut être positive ou négative. Elle s'exprime en coulombs (symbole C). Deux charges de même signe se repoussent ; deux charges de signes opposés s'attirent.

D'où vient la charge ? De la structure de la matière, que la chimie de seconde décrit en parallèle : les protons portent une charge positive, les électrons une charge négative de même valeur, et un corps s'électrise en gagnant ou perdant des électrons — jamais en en créant. La plus petite charge isolable est celle du proton, appelée charge élémentaire :

Les charges des ions et des corps ordinaires étudiés ici sont des multiples entiers de $e$ : un ion qui a perdu deux électrons porte $q = +2e = 3{,}20 \times 10^{-19}$ C ; un électron porte $q = -e$. Attention à ne pas confondre le nombre de charges élémentaires (un entier, sans unité, lu sur la formule de l'ion) et la charge elle-même (en coulombs).

Reste à chiffrer la force. La loi a été établie par Charles-Augustin Coulomb en 1785, avec une balance de torsion — et sa forme va vous sembler étrangement familière :

Loi de Coulomb. Dans le vide (ou dans l’air assimilé au vide), en électrostatique, deux corps ponctuels A et B, portant les charges $q_A$ et $q_B$, séparés d'une distance $d$, exercent l'un sur l'autre des forces de même valeur $F = k \times \dfrac{|q_A \times q_B|}{d^{2}}$, avec $F$ en newtons (N), les charges en coulombs (C), $d$ en mètres (m), et $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻² la constante de Coulomb, toujours donnée.

Une constante, un produit de deux grandeurs propres aux corps, une distance au carré au dénominateur : c'est, terme à terme, la structure de la loi de gravitation de la leçon précédente. Les barres de valeur absolue signalent la seule subtilité d'écriture : la norme d’une force est positive ou nulle, quel que soit le signe des charges. Le signe des charges ne règle pas la valeur — il règle le sens : attraction ou répulsion.

La comparaison terme à terme. Mettons les deux lois face à face — c'est le cœur du programme, et les deux leçons sont faites pour être lues ensemble.

Les ressemblances d'abord, parce qu'elles font gagner du temps : tout ce que vous savez manier sur la gravitation se transpose tel quel. Multiplier la distance par $3$ divise la force par $9$ ; la force est réciproque (la petite charge « rend » exactement ce qu'elle reçoit) ; isoler une charge ou la distance suit les mêmes gestes algébriques ; et la distance sépare les charges ponctuelles. Pour de petites sphères conductrices suffisamment éloignées par rapport à leur rayon, la distance entre centres donne une approximation ; des sphères proches peuvent se polariser et ne suivent pas exactement ce modèle.

Les différences ensuite, parce qu'elles sont la matière des questions de cours.

Première différence : le signe. Une masse est positive, une charge ne l'est pas forcément. La gravitation ne sait qu'attirer ; l'électrostatique attire ($q_A q_B < 0$) ou repousse ($q_A q_B > 0$). C'est la répulsion qui rend l'électricité si visible au quotidien : cheveux qui se dressent, ballons qui s'écartent.

Seconde différence : l'ordre de grandeur. Comparons les deux forces entre deux protons (charge $+e$, masse $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg). Comme les deux lois sont en $1/d^{2}$, la distance se simplifie dans leur rapport, qui ne dépend de rien d'autre que des constantes :

Un $1$ suivi de trente-six zéros. Entre particules, la gravitation est si ridiculement faible qu'on l'ignore purement et simplement : c'est l'interaction électrostatique qui fait la cohésion de la matière — elle retient les électrons autour des noyaux, elle lie les ions dans un cristal de sel.

Alors pourquoi la gravitation gouverne-t-elle le ciel ? Si l'électricité est $10^{36}$ fois plus forte, pourquoi les planètes obéissent-elles à Newton et pas à Coulomb ? Parce que beaucoup de corps macroscopiques sont presque neutres : les contributions électriques positives et négatives se compensent largement à grande distance. Cela ne supprime pas toute interaction électrique : des objets neutres peuvent se polariser et s’attirer. Les masses s’additionnent ; dans le modèle des astres quasi neutres étudiés ici, la gravitation domine leur mouvement.

Les unités en pratique. Un coulomb est une charge énorme : les corps électrisés du laboratoire portent des nanocoulombs ($1$ nC $= 10^{-9}$ C) ou des microcoulombs ($1$ µC $= 10^{-6}$ C). Toute donnée en nC ou µC se convertit en coulombs avant d'entrer dans la loi, et toute distance en centimètres se convertit en mètres — ces conversions sont nécessaires avec la valeur numérique de $k$ fournie en unités SI.

Modèle. On assimile les petites sphères à des charges ponctuelles, leurs rayons étant négligeables devant leur séparation, dans l’air assimilé au vide. L’exemple atomique est un calcul classique à distance donnée ; il ne décrit pas une orbite fixe réelle de l’électron. Les résultats sont demandés à trois chiffres significatifs par convention de l’exercice.

Énoncé. Deux sphères conductrices isolées portent les charges $q_A = +5{,}2$ µC et $q_B = +3{,}8$ µC. Leurs centres sont distants de $d = 20$ cm. Par ailleurs, dans un modèle classique de l’hydrogène, on considère un électron (charge $-e$) à la distance $d' = 5{,}3 \times 10^{-11}$ m d'un proton (charge $+e$). On donne $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻² et $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.

Question 1. Les deux sphères s'attirent-elles ou se repoussent-elles ? Calculer la valeur $F$ de la force, avec 3 chiffres significatifs.

Question 2. Calculer la valeur $F'$ de la force électrostatique entre l'électron et le proton, avec 3 chiffres significatifs, et préciser son sens.

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Question 1 — les deux sphères.

1. Lire les signes. Les deux charges sont positives : même signe, les sphères se repoussent. Le sens est réglé avant tout calcul — la loi ne donnera que la valeur.

2. Convertir en unités SI. $q_A = 5{,}2$ µC $= 5{,}2 \times 10^{-6}$ C ; $q_B = 3{,}8 \times 10^{-6}$ C ; $d = 20$ cm $= 0{,}20$ m.

3. Appliquer la loi, d'un seul trait.

Les deux sphères se repoussent, chacune subissant une force d'environ $4{,}45$ N.

4. Contrôler. Quelques newtons — le poids d'une petite bouteille d'eau — pour des charges de quelques microcoulombs à vingt centimètres : c’est le résultat du modèle idéal de charges fixées. Il ne garantit pas qu’une expérience réelle sur de petites sphères dans l’air soit réalisable : champ de surface, fuites et claquage peuvent invalider ces hypothèses. Et par réciprocité, la sphère la moins chargée subit exactement la même valeur de force que l'autre.

Question 2 — l'électron et le proton.

1. Lire les signes. $-e$ et $+e$ : signes opposés, la force est attractive — c'est elle qui retient l'électron autour du noyau.

2. Écrire le produit des charges. Les deux charges ont la même valeur absolue $e$, donc $|q_A \times q_B| = e^{2} = (1{,}60 \times 10^{-19})^{2} = 2{,}56 \times 10^{-38}$ C².

3. Appliquer la loi.

La force qui lie l'électron au proton vaut environ $8{,}20 \times 10^{-8}$ N, attractive.

4. Interpréter l'ordre de grandeur. Huit centièmes de micronewton : cela semble infime, mais rapporté à la masse dérisoire de l'électron, c'est une emprise colossale — et c'est cette force, pas la gravitation, qui fait tenir l'atome. Le même calcul mené avec la loi de gravitation (masses de l'électron et du proton au lieu des charges) donnerait un résultat environ $10^{39}$ fois plus faible : à l'échelle atomique, la gravitation ne compte pas.

Figure (fig.physics.coulomb-law, SVG programmatique disponible) : trois panneaux empilés.

• Panneau du haut — les trois cas de signes. Trois lignes. Ligne 1 : deux sphères marquées $+$ et $+$, flèches de force divergentes (chacune fuit l'autre), légende « même signe : répulsion ». Ligne 2 : deux sphères $-$ et $-$, flèches divergentes également. Ligne 3 : sphères $+$ et $-$, flèches convergentes (chacune pointe vers l'autre), légende « signes opposés : attraction ». Sur chaque ligne, les deux flèches ont exactement la même longueur, et une note commune à droite : « valeur identique des deux côtés, quel que soit le déséquilibre des charges ».
• Panneau du milieu — la décroissance en $1/d^{2}$. Même construction que dans la leçon sur la gravitation, volontairement : trois paires de charges aux distances $d$, $2d$, $3d$, flèches de force en « $F$ », « $F/4$ », « $F/9$ », et la courbe décroissante au-dessus. Une étiquette souligne le parallèle : « même géométrie que la gravitation — seule la grandeur qui interagit change ».
• Panneau du bas — le duel des deux interactions. Deux protons face à face. Entre eux, deux flèches superposées à des échelles incomparables : une grande flèche pleine « force électrostatique (répulsive) » et, dessinée en insert grossi à la loupe car invisible à l'échelle, une flèche minuscule « force gravitationnelle (attractive) ». La légende porte le rapport calculé en cours : « rapport ≈ $10^{36}$, indépendant de la distance ». En vis-à-vis, une vignette d'astres neutres avec la mention : « matière neutre à grande échelle : interaction électrique macroscopique souvent très réduite, effets résiduels possibles ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut sépare ce que règlent les signes (le sens : attraction ou répulsion) de ce que règle la loi (la valeur, positive ou nulle) — et rappelle la réciprocité par l'égalité des flèches. Le panneau du milieu montre que la signature en $1/d^{2}$ est commune aux deux lois comparées dans ce parcours. Le panneau du bas résout le paradoxe apparent : l'électricité écrase la gravitation entre particules, mais ses contributions se compensent souvent largement pour les astres quasi neutres ; la neutralité n’interdit pas les interactions de polarisation.