Les lentilles minces convergentes : construire et calculer une image

Tenez une loupe entre le soleil et une feuille : à une distance précise, la lumière se concentre en un point brûlant. Cette distance est la propriété numéro un de la lentille, et tout le reste en découle.

On utilise le modèle de la lentille mince dans le même milieu, ici l’air, de part et d’autre. Les rayons sont proches de l’axe et peu inclinés (approximation paraxiale) : le stigmatisme est approché et les aberrations sont négligées.

La lentille mince convergente. Pour les formes usuelles étudiées, c’est une lentille plus épaisse au centre qu’aux bords, d’indice supérieur à celui de l’air environnant, dont on néglige l’épaisseur : on la représente par un segment vertical à double flèche, coupant l'axe optique en son centre optique $O$. Un faisceau de rayons parallèles à l'axe, venant de la gauche, ressort en convergeant vers un point de l'axe : le foyer image $F'$. Symétriquement, un point de l'axe, le foyer objet $F$, a la propriété que tout rayon qui en est issu ressort parallèle à l'axe. Les deux foyers sont symétriques par rapport à $O$, et la distance $OF'$ est la distance focale $f'$ — celle de la loupe au soleil.

Une image, c'est un point de convergence. Un objet lumineux $AB$ ($A$ sur l'axe, $B$ au-dessus) envoie des rayons dans toutes les directions ; la lentille les dévie ; s'ils se recoupent en un point $B'$, tous les rayons issus de $B$ passent par $B'$ : $B'$ est l'image de $B$. Pour la trouver, il suffit de deux rayons dont on connaît le trajet — on en connaît trois, et le troisième sert de contrôle.

Les trois rayons de construction. Issus de $B$ : le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par $F'$ ; le rayon passant par $O$ n'est pas dévié ; le rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe. Leur intersection est $B'$ ; $A'$ est le pied de la perpendiculaire à l'axe menée de $B'$.

Réelle ou virtuelle, droite ou renversée. Si l'objet est au-delà de $F$ (plus loin que le foyer objet), les rayons se recoupent réellement de l'autre côté : l'image est réelle — on peut la recueillir sur un écran — et renversée. Si l'objet est entre $O$ et $F$, les rayons ressortent divergents ; ils ne se recoupent pas, mais leurs prolongements, en arrière, se recoupent du côté de l'objet : l'image est virtuelle — visible à travers la lentille, impossible à projeter — droite et agrandie. C'est la loupe.

Les valeurs algébriques. Pour calculer sans dessiner, il faut des signes. La convention, écrite dans chaque énoncé : l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière, l'origine est en $O$ ; les positions $\overline{OA}$ (objet) et $\overline{OA'}$ (image) sont des valeurs algébriques, négatives à gauche de $O$, positives à droite. Un objet réel est toujours à gauche : $\overline{OA} < 0$. Une image réelle est à droite : $\overline{OA'} > 0$ ; une image virtuelle à gauche : $\overline{OA'} < 0$. Pour une lentille convergente, $f' = \overline{OF'} > 0$. Verticalement, $\overline{AB} > 0$ si $B$ est au-dessus de l'axe.

Relation de conjugaison et grandissement. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ et $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Le signe de $\gamma$ dit le sens de l'image ($\gamma < 0$ : renversée), sa valeur absolue dit si elle est agrandie ($\lvert\gamma\rvert > 1$) ou réduite.

Le grandissement par le rayon non dévié. Le rayon $B \to O \to B'$ est une droite. Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont donc en situation de Thalès (sommet $O$, côtés $AB$ et $A'B'$ parallèles, tous deux perpendiculaires à l'axe), et le théorème de Thalès, écrit en valeurs algébriques, donne

C'est la définition du grandissement. Elle dit déjà tout du sens : $\overline{OA} < 0$ toujours, donc $\gamma$ a le signe opposé à $\overline{OA'}$ — image réelle ($\overline{OA'} > 0$) renversée, image virtuelle ($\overline{OA'} < 0$) droite. Pas besoin de dessin pour le savoir.

La conjugaison par le rayon parallèle. Le rayon parallèle à l'axe issu de $B$ traverse la lentille au point $I$, à la hauteur de $B$ — donc $\overline{OI} = \overline{AB}$ —, puis passe par $F'$ et atteint $B'$. Les triangles $OIF'$ et $A'B'F'$ sont à leur tour en situation de Thalès, de sommet $F'$ :

En égalant les deux expressions de $\gamma$ : $\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{f' - \overline{OA'}}{f'}$, soit $f'\,\overline{OA'} = f'\,\overline{OA} - \overline{OA}\,\overline{OA'}$. Divisez tout par le produit $\overline{OA}\,\overline{OA'}\,f'$ :

La relation de conjugaison n'est pas une formule tombée du ciel : c'est le théorème de Thalès appliqué deux fois à la construction. Les signes de la convention sont exactement ce qui rend cette double application valable dans tous les cas — image réelle ou virtuelle — sans changer d'écriture.

Ce que la relation prédit. Objet très loin ($\overline{OA} \to -\infty$) : $1/\overline{OA} \to 0$, donc $\overline{OA'} = f'$ — l'image d'un objet à l'infini se forme dans le plan focal image, c'est la loupe au soleil. Objet dans le plan focal objet ($\overline{OA} = -f'$) : $1/\overline{OA'} = 0$, l'image est rejetée à l'infini, les rayons ressortent parallèles. Objet entre $O$ et $F$ ($-f' < \overline{OA} < 0$) : $1/\overline{OA'} = 1/f' + 1/\overline{OA} < 0$, image virtuelle. Objet au-delà de $2f'$ : image réduite ; à $2f'$ exactement : $\overline{OA'} = 2f'$ et $\gamma = -1$, image de même taille, renversée. La relation contient toute la géométrie de la construction.

Le modèle de l'œil réduit (rappel de seconde). La cornée et le cristallin se comportent comme une lentille mince convergente unique ; la rétine, à environ $17$ mm derrière, joue le rôle de l'écran. Un objet net donne une image réelle, renversée et très réduite sur la rétine — le cerveau la remet à l'endroit. Comme la distance lentille-rétine est fixe, voir net à des distances différentes exige de changer la distance focale : c'est l'accommodation, où le cristallin se bombe pour voir de près. Dans un modèle simple d’appareil photo à focale fixée, la mise au point fait varier la distance objectif-capteur, généralement en déplaçant l’objectif ou un groupe de lentilles plutôt que le capteur ; et l’exercice vous posera parfois la question.

Ce qui n'est pas ici. Les lentilles divergentes ($f' < 0$), les systèmes de deux lentilles (microscope, lunette), la vergence en dioptries : hors du périmètre choisi de cette leçon. Une lentille, une image, deux relations.

Énoncé. Sur un banc d'optique, une lentille mince convergente a pour distance focale $f' = 10$ cm. Un objet $AB$, de taille $\overline{AB} = 2{,}0$ cm ($B$ au-dessus de l'axe), est placé perpendiculairement à l'axe. Convention : l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière et l'origine est le centre optique $O$ ; les positions $\overline{OA}$ et $\overline{OA'}$ sont des valeurs algébriques, négatives à gauche de $O$, positives à droite.

Questions. 1. L'objet est en $\overline{OA} = -15$ cm. Déterminer la position, le grandissement et la taille de l'image ; préciser sa nature. 2. On rapproche l'objet en $\overline{OA} = -5{,}0$ cm. Reprendre les mêmes questions. 3. Vérifier le résultat de la question 1 par la construction.

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1. Objet au-delà du foyer. Relation de conjugaison, en isolant l'inconnue :

$\overline{OA'} > 0$ : l'image est à droite de la lentille, réelle — un écran placé à $30$ cm la recueillerait nette.

$\gamma < 0$ : image renversée ($B'$ sous l'axe) ; $\lvert\gamma\rvert = 2$ : agrandie, de $4{,}0$ cm de hauteur.

L'erreur qu'il faut avoir vue une fois. Oublier le signe de $\overline{OA}$ donnerait $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$, soit $\overline{OA'} = 6$ cm : une image entre la lentille et son foyer image, ce qu'un objet réel ne produit jamais. Le résultat absurde signale le signe oublié.

2. Objet entre $O$ et $F$.

$\overline{OA'} < 0$ : l'image est du même côté que l'objet, virtuelle — aucun écran ne la recueille, on la voit en regardant à travers la lentille.

$\gamma > 0$ : image droite, agrandie deux fois. C'est la loupe : la même lentille, l'objet rapproché sous le foyer, et l'image change de nature et de sens.

3. Contrôle par la construction (question 1). À l'échelle $1$ cm pour $5$ cm : l'objet à $3$ carreaux à gauche de $O$, hauteur $0{,}4$ carreau ; $F$ à $2$ carreaux à gauche, $F'$ à $2$ carreaux à droite. Le rayon issu de $B$ parallèle à l'axe repart de la lentille vers $F'$ ; le rayon $B \to O$ continue tout droit. Ils se coupent à $6$ carreaux à droite de $O$ ($30$ cm), à $0{,}8$ carreau sous l'axe ($-4{,}0$ cm). Le troisième rayon, issu de $B$ et passant par $F$, ressort parallèle à l'axe à la hauteur $-0{,}8$ carreau et passe par le même point $B'$ ✔. Calcul et construction concordent ; le calcul est plus précis, la construction plus parlante.

4. Contrôler par la relation elle-même. Question 1 : $\dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{-15} = \dfrac{1}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$ ✔. Question 2 : $-\dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{-5} = -\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{10}$ ✔.

Les deux panneaux utilisent la même lentille convergente de focale 10 cm. Dans le premier, l’objet à −15 cm produit une image à +30 cm, renversée et deux fois plus grande ; les trois rayons de construction se rejoignent réellement. Dans le second, l’objet à −5 cm donne une image virtuelle à −10 cm, droite et agrandie : ce sont les prolongements des rayons qui se rejoignent.

Suivez le rayon passant par le centre optique, puis celui parallèle à l’axe. Distinguez les rayons physiques de leurs prolongements et lisez la convention des signes avant de comparer aux calculs. Ces constructions relèvent du modèle paraxial annoncé.