Les lentilles minces convergentes : construire et calculer une image

Tiens une loupe entre le soleil et une feuille : à une distance précise, la lumière se concentre en un point brûlant. Cette distance est la propriété numéro un de la lentille, et tout le reste en découle.

La lentille mince convergente. C'est un morceau de verre plus épais au centre qu'aux bords, dont on néglige l'épaisseur : on la représente par un segment vertical à double flèche, coupant l'axe optique en son centre optique $O$. Un faisceau de rayons parallèles à l'axe, venant de la gauche, ressort en convergeant vers un point de l'axe : le foyer image $F'$. Symétriquement, un point de l'axe, le foyer objet $F$, a la propriété que tout rayon qui en est issu ressort parallèle à l'axe. Les deux foyers sont symétriques par rapport à $O$, et la distance $OF'$ est la distance focale $f'$ — celle de la loupe au soleil.

Une image, c'est un point de convergence. Un objet lumineux $AB$ ($A$ sur l'axe, $B$ au-dessus) envoie des rayons dans toutes les directions ; la lentille les dévie ; s'ils se recoupent en un point $B'$, tous les rayons issus de $B$ passent par $B'$ : $B'$ est l'image de $B$. Pour la trouver, il suffit de deux rayons dont on connaît le trajet — on en connaît trois, et le troisième sert de contrôle.

Les trois rayons de construction. Issus de $B$ : le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par $F'$ ; le rayon passant par $O$ n'est pas dévié ; le rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe. Leur intersection est $B'$ ; $A'$ est le pied de la perpendiculaire à l'axe menée de $B'$.

Réelle ou virtuelle, droite ou renversée. Si l'objet est au-delà de $F$ (plus loin que le foyer objet), les rayons se recoupent réellement de l'autre côté : l'image est réelle — on peut la recueillir sur un écran — et renversée. Si l'objet est entre $O$ et $F$, les rayons ressortent divergents ; ils ne se recoupent pas, mais leurs prolongements, en arrière, se recoupent du côté de l'objet : l'image est virtuelle — visible à travers la lentille, impossible à projeter — droite et agrandie. C'est la loupe.

Les valeurs algébriques. Pour calculer sans dessiner, il faut des signes. La convention, écrite dans chaque énoncé : l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière, l'origine est en $O$ ; les positions $\overline{OA}$ (objet) et $\overline{OA'}$ (image) sont des valeurs algébriques, négatives à gauche de $O$, positives à droite. Un objet réel est toujours à gauche : $\overline{OA} < 0$. Une image réelle est à droite : $\overline{OA'} > 0$ ; une image virtuelle à gauche : $\overline{OA'} < 0$. Pour une lentille convergente, $f' = \overline{OF'} > 0$. Verticalement, $\overline{AB} > 0$ si $B$ est au-dessus de l'axe.

Relation de conjugaison et grandissement. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ et $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Le signe de $\gamma$ dit le sens de l'image ($\gamma < 0$ : renversée), sa valeur absolue dit si elle est agrandie ($\lvert\gamma\rvert > 1$) ou réduite.

Le grandissement par le rayon non dévié. Le rayon $B \to O \to B'$ est une droite. Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont donc en situation de Thalès (sommet $O$, côtés $AB$ et $A'B'$ parallèles, tous deux perpendiculaires à l'axe), et le théorème de Thalès, écrit en valeurs algébriques, donne

C'est la définition du grandissement. Elle dit déjà tout du sens : $\overline{OA} < 0$ toujours, donc $\gamma$ a le signe opposé à $\overline{OA'}$ — image réelle ($\overline{OA'} > 0$) renversée, image virtuelle ($\overline{OA'} < 0$) droite. Pas besoin de dessin pour le savoir.

La conjugaison par le rayon parallèle. Le rayon parallèle à l'axe issu de $B$ traverse la lentille au point $I$, à la hauteur de $B$ — donc $\overline{OI} = \overline{AB}$ —, puis passe par $F'$ et atteint $B'$. Les triangles $OIF'$ et $A'B'F'$ sont à leur tour en situation de Thalès, de sommet $F'$ :

En égalant les deux expressions de $\gamma$ : $\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{f' - \overline{OA'}}{f'}$, soit $f'\,\overline{OA'} = f'\,\overline{OA} - \overline{OA}\,\overline{OA'}$. Divise tout par le produit $\overline{OA}\,\overline{OA'}\,f'$ :

La relation de conjugaison n'est pas une formule tombée du ciel : c'est le théorème de Thalès appliqué deux fois à la construction. Les signes de la convention sont exactement ce qui rend cette double application valable dans tous les cas — image réelle ou virtuelle — sans changer d'écriture.

Ce que la relation prédit. Objet très loin ($\overline{OA} \to -\infty$) : $1/\overline{OA} \to 0$, donc $\overline{OA'} = f'$ — l'image d'un objet à l'infini se forme dans le plan focal image, c'est la loupe au soleil. Objet dans le plan focal objet ($\overline{OA} = -f'$) : $1/\overline{OA'} = 0$, l'image est rejetée à l'infini, les rayons ressortent parallèles. Objet entre $O$ et $F$ ($-f' < \overline{OA} < 0$) : $1/\overline{OA'} = 1/f' + 1/\overline{OA} < 0$, image virtuelle. Objet au-delà de $2f'$ : image réduite ; à $2f'$ exactement : $\overline{OA'} = 2f'$ et $\gamma = -1$, image de même taille, renversée. La relation contient toute la géométrie de la construction.

Le modèle de l'œil réduit (rappel de seconde). La cornée et le cristallin se comportent comme une lentille mince convergente unique ; la rétine, à environ $17$ mm derrière, joue le rôle de l'écran. Un objet net donne une image réelle, renversée et très réduite sur la rétine — le cerveau la remet à l'endroit. Comme la distance lentille-rétine est fixe, voir net à des distances différentes exige de changer la distance focale : c'est l'accommodation, où le cristallin se bombe pour voir de près. Un appareil photo fait l'inverse — focale fixe, écran mobile — et l'exercice te posera parfois la question.

Ce qui n'est pas ici. Les lentilles divergentes ($f' < 0$), les systèmes de deux lentilles (microscope, lunette), la vergence en dioptries : hors du programme de première. Une lentille, une image, deux relations.

Énoncé. Sur un banc d'optique, une lentille mince convergente a pour distance focale $f' = 10$ cm. Un objet $AB$, de taille $\overline{AB} = 2{,}0$ cm ($B$ au-dessus de l'axe), est placé perpendiculairement à l'axe. Convention : l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière et l'origine est le centre optique $O$ ; les positions $\overline{OA}$ et $\overline{OA'}$ sont des valeurs algébriques, négatives à gauche de $O$, positives à droite.

Questions. 1. L'objet est en $\overline{OA} = -15$ cm. Déterminer la position, le grandissement et la taille de l'image ; préciser sa nature. 2. On rapproche l'objet en $\overline{OA} = -5{,}0$ cm. Reprendre les mêmes questions. 3. Vérifier le résultat de la question 1 par la construction.

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1. Objet au-delà du foyer. Relation de conjugaison, en isolant l'inconnue :

$\overline{OA'} > 0$ : l'image est à droite de la lentille, réelle — un écran placé à $30$ cm la recueillerait nette.

$\gamma < 0$ : image renversée ($B'$ sous l'axe) ; $\lvert\gamma\rvert = 2$ : agrandie, de $4{,}0$ cm de hauteur.

L'erreur qu'il faut avoir vue une fois. Oublier le signe de $\overline{OA}$ donnerait $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$, soit $\overline{OA'} = 6$ cm : une image entre la lentille et son foyer image, ce qu'un objet réel ne produit jamais. Le résultat absurde signale le signe oublié.

2. Objet entre $O$ et $F$.

$\overline{OA'} < 0$ : l'image est du même côté que l'objet, virtuelle — aucun écran ne la recueille, on la voit en regardant à travers la lentille.

$\gamma > 0$ : image droite, agrandie deux fois. C'est la loupe : la même lentille, l'objet rapproché sous le foyer, et l'image change de nature et de sens.

3. Contrôle par la construction (question 1). À l'échelle $1$ cm pour $5$ cm : l'objet à $3$ carreaux à gauche de $O$, hauteur $0{,}4$ carreau ; $F$ à $2$ carreaux à gauche, $F'$ à $2$ carreaux à droite. Le rayon issu de $B$ parallèle à l'axe repart de la lentille vers $F'$ ; le rayon $B \to O$ continue tout droit. Ils se coupent à $6$ carreaux à droite de $O$ ($30$ cm), à $0{,}8$ carreau sous l'axe ($-4{,}0$ cm). Le troisième rayon, issu de $B$ et passant par $F$, ressort parallèle à l'axe à la hauteur $-0{,}8$ carreau et passe par le même point $B'$ ✔. Calcul et construction concordent ; le calcul est plus précis, la construction plus parlante.

4. Contrôler par la relation elle-même. Question 1 : $\dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{-15} = \dfrac{1}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$ ✔. Question 2 : $-\dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{-5} = -\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{10}$ ✔.

Figure (fig.physics.thin-lenses, SVG programmatique à produire) : deux constructions superposées sur le même axe, et un bandeau.

La figure en détail : chaque panneau montre l'axe optique horizontal, orienté par une flèche vers la droite avec la mention « sens de la lumière », la lentille en segment vertical à double flèche centré en $O$, les foyers $F$ (à gauche) et $F'$ (à droite) marqués par des croix à $2$ carreaux de $O$ sur une grille où $1$ carreau vaut $5$ cm, et la distance focale cotée « $f' = 10$ cm ». Panneau du haut, objet en $\overline{OA} = -15$ cm : flèche $AB$ de $2{,}0$ cm dressée au-dessus de l'axe, trois rayons issus de $B$ en trois styles de trait — plein pour le rayon parallèle qui repart vers $F'$, tireté pour le rayon par $O$ non dévié, pointillé pour le rayon par $F$ qui ressort parallèle —, se coupant en $B'$ à $30$ cm à droite, sous l'axe ; flèche $A'B'$ de $4{,}0$ cm dirigée vers le bas, un écran dessiné en $A'$ avec la mention « image réelle, renversée, $\gamma = -2$ ». Panneau du bas, objet en $\overline{OA} = -5$ cm, entre $O$ et $F$ : les mêmes trois rayons, qui ressortent divergents à droite ; leurs prolongements vers la gauche, en trait très fin, se coupent en $B'$ à $-10$ cm, au-dessus de l'axe ; flèche $A'B'$ de $4{,}0$ cm vers le haut, en trait fin, avec un œil dessiné à droite qui regarde à travers la lentille et la mention « image virtuelle, droite, $\gamma = +2$ : la loupe » ; un écran barré d'une croix rappelle qu'on ne peut pas la projeter. Le bandeau du bas aligne la convention (« axe orienté dans le sens de la lumière, origine en $O$, gauche négatif, droite positif ») et les deux relations, avec un petit tableau à trois lignes : « objet au-delà de $F$ : réelle, renversée », « objet en $F$ : image à l'infini », « objet entre $O$ et $F$ : virtuelle, droite ».

Ce qu'il faut lire. Les deux panneaux utilisent la même lentille et les mêmes trois rayons : seule la position de l'objet change, et l'image change de côté, de sens et de nature. Les prolongements en trait fin du panneau du bas sont la définition même d'une image virtuelle — les rayons semblent en venir, sans y passer. Le bandeau rappelle que les signes de la convention ne sont pas une décoration : ils sont ce qui permet à une seule relation de couvrir les deux panneaux.

Les unités. Les trois longueurs de la conjugaison dans la même unité — centimètres sur un banc d'optique — et le résultat sort dans cette unité ; inutile de convertir en mètres tant que tout est homogène. Le grandissement est sans unité ; la taille de l'image a l'unité de la taille de l'objet.

La méthode. Écrire la convention (elle est dans l'énoncé) ; poser les valeurs algébriques avec leurs signes ($\overline{OA} < 0$) ; isoler l'inverse inconnu ; réduire au même dénominateur ; inverser ; interpréter le signe (réelle/virtuelle) ; calculer $\gamma$ et interpréter son signe (droite/renversée) ; contrôler en réinjectant dans la relation.

Les cas repères. Objet à l'infini : image en $F'$. Objet en $F$ : image à l'infini. Objet à $2f'$ : image à $2f'$, $\gamma = -1$. Objet entre $O$ et $F$ : loupe, image virtuelle droite agrandie.

1. Oublier les signes dans la relation de conjugaison. $\overline{OA}$ est négatif pour un objet réel. Écrire $+\dfrac{1}{15}$ au lieu de $-\dfrac{1}{15}$ donne une image entre $O$ et $F'$, impossible pour un objet réel : quand le résultat est absurde, cherche le signe.
2. Dévier le rayon qui passe par le centre optique. Il traverse la lentille sans déviation : c'est le rayon le plus simple et le plus sûr de la construction. Le dévier fausse $B'$ et donc toute l'image.
3. Confondre image réelle et image virtuelle. Réelle : les rayons s'y croisent réellement, un écran la recueille, $\overline{OA'} > 0$. Virtuelle : seuls les prolongements s'y croisent, on la voit à travers la lentille, aucun écran ne la reçoit, $\overline{OA'} < 0$. La loupe donne une image virtuelle — jamais une image projetable.
4. Placer l'image virtuelle du mauvais côté. Elle est du même côté que l'objet, plus loin de la lentille que lui ($\lvert\overline{OA'}\rvert > \lvert\overline{OA}\rvert$), et droite. Une « image virtuelle à droite » n'existe pas pour un objet réel et une lentille convergente.
5. Lire $\gamma$ sans son signe. $\gamma = -2$ et $\gamma = +2$ sont deux images de même taille et de sens opposés. Le signe est une information physique : renversée ou droite.
6. Mélanger les unités. Toutes les longueurs en centimètres, ou toutes en mètres. $\dfrac{1}{10\ \text{cm}} + \dfrac{1}{-0{,}15\ \text{m}}$ n'a aucun sens.
7. Croire que rapprocher l'objet rapproche l'image. C'est l'inverse pour une image réelle : quand l'objet s'approche de $F$, l'image s'éloigne vers l'infini. La relation le dit ; l'intuition, non.
8. Construire avec deux échelles différentes sans le savoir. Si l'axe horizontal est à $1$ cm pour $5$ cm et l'axe vertical à $1$ cm pour $1$ cm, les rayons ne sont plus des droites au sens optique — mais la construction reste valide pour trouver positions et tailles, à condition d'appliquer chaque échelle à son axe. Écris les échelles.
9. Chercher une image réelle d'un objet entre $O$ et $F$. Aucun écran ne la trouvera : elle est virtuelle. Si un exercice demande « où placer l'écran » pour un tel objet, la réponse est « nulle part ».

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon place un objet sur un banc d'optique devant une lentille convergente, écrit la convention d'orientation en toutes lettres, et demande selon la variante la position de l'image, la distance focale, le grandissement ou la taille algébrique de l'image ; un quart des situations placent l'objet entre $O$ et $F$ (image virtuelle). Les valeurs sont choisies pour que les fractions se réduisent exactement. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, fait décider si l'image est réelle, si elle est renversée, si le rayon par $O$ est dévié, et si une loupe peut donner une image sur un écran.

Énoncé type. Sur un banc d'optique, un objet $AB$ est placé perpendiculairement à l'axe d'une lentille mince convergente, en $\overline{OA} = -30$ cm. Convention : l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière et l'origine est le centre optique $O$ ; les positions $\overline{OA}$ (objet) et $\overline{OA'}$ (image) sont des valeurs algébriques, négatives à gauche de $O$, positives à droite. L'image $A'B'$ se forme en $\overline{OA'} = 20$ cm. Déterminer la distance focale $f'$ de la lentille, puis le grandissement $\gamma$.

Corrigé complet.

1. La relation, avec les signes. $\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{-30} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30}$.

2. Le même dénominateur. $\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{3}{60} + \dfrac{2}{60} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$, donc $f' = 12$ cm.

3. Le grandissement. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{20}{-30} = -\dfrac{2}{3} \approx -0{,}67$.

La lentille a une distance focale de $12$ cm ($f' > 0$, convergente, comme annoncé). L'image est réelle ($\overline{OA'} > 0$), renversée ($\gamma < 0$) et réduite ($\lvert\gamma\rvert < 1$) : elle mesure les deux tiers de l'objet.

4. Contrôler. Réinjecter : $\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{-30} = \dfrac{1}{12}$ ✔. Cohérence : l'objet est à $30$ cm, au-delà de $2f' = 24$ cm — l'image doit être réduite et entre $f'$ et $2f'$, soit entre $12$ et $24$ cm : $20$ cm ✔. Signe oublié : $\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{60}$ donnerait $f' = 60$ cm, une lentille dont le foyer serait au-delà de l'image elle-même — absurde.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je écrit $\overline{OA}$ avec son signe négatif ? Mon $f'$ est-il positif, comme pour toute lentille convergente ? Et le signe de $\gamma$ raconte-t-il la bonne histoire — renversée si l'image est réelle, droite si elle est virtuelle ?