Primitives : formes, parties et changement de variable

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ ; deux primitives sur le même intervalle diffèrent d’une constante ; pour une fonction continue sur le segment, $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$. Ce cadre est supposé connu. Ce chapitre commence là où la table des primitives usuelles s'arrête : quand $f$ n'y figure pas, on la fabrique — en reconnaissant une dérivée de composée, en intégrant par parties, en changeant de variable, ou en découpant une fraction.

Lire à l'envers la dérivée d'une composée. Si $u$ est dérivable, la dérivée de $x \mapsto g(u(x))$ est $u' \cdot g'(u)$. Chaque ligne de la table usuelle devient donc une ligne « composée », à condition de voir le facteur $u'$ :

Exemples. $x\,e^{x^{2}}$ : on voit $u = x^{2}$, $u' = 2x$, il manque un facteur $2$ — donc $\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}$, et $\int_0^1 x\,e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{e - 1}{2}$. $\dfrac{x}{1 + x^{2}}$ : $u = 1 + x^{2}$, $u' = 2x$, forme $\dfrac{u'}{u}$ à un facteur $\dfrac{1}{2}$ près — primitive $\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$, et $\int_0^1 \frac{x}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{\ln 2}{2}$. Le facteur constant manquant se corrige ; un facteur variable manquant ne se corrige pas en multipliant arbitrairement la primitive par son inverse : $e^{x^{2}}$ seul n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Deux points de vigilance de la table. La ligne $u'/u$ donne $\ln \lvert u \rvert$ : sur un intervalle où $u < 0$, c'est $\ln(-u)$ qui convient, et l'on choisit l'intervalle avant d'écrire la primitive. La ligne $u'u^{n}$ exclut $n = -1$ : $\dfrac{x^{0}}{0}$ n'existe pas, et la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln \lvert x \rvert$, pas une puissance.

Intégrer par parties. Si $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[a\,;\,b]$,

$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \left[u(x)\,v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$$

C'est la formule $(uv)' = u'v + uv'$ intégrée. On l'emploie quand $f$ est un produit dont un facteur se simplifie par dérivation (un polynôme, un logarithme) et l'autre se primitive sans peine (une exponentielle, un sinus). $\int_0^{\pi} x \sin x\,\mathrm{d}x$ : $u = x$, $v' = \sin x$, $v = -\cos x$, d'où $\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \pi + 0 = \pi$. Et pour $\ln x$, qu’on écrit comme le produit $\ln x\times1$ : $u = \ln x$, $v' = 1$, $v = x$, d'où $\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x = \left[x \ln x\right]_1^{e} - \int_1^{e} 1\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1$.

Ce que la terminale faisait en une ligne, la L1 le répète : pour un polynôme de degré $n$ multiplié par une exponentielle de coefficient non nul, une méthode consiste à répéter les parties jusqu’à une intégrale immédiate, en diminuant le degré à chaque fois. Ce n’est pas un nombre minimal universel de calculs pour toute fonction contenant un polynôme. Le calcul n'est terminé que lorsque la dernière intégrale est calculée — la première ligne n'est pas une réponse.

Parties répétées jusqu'à réapparition. Calculons $J = \int_0^{\pi} e^{x} \cos x\,\mathrm{d}x$. Première fois, $u = \cos x$, $v' = e^{x}$ : $J = \left[e^{x}\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^{x} \sin x\,\mathrm{d}x = (-e^{\pi} - 1) + \int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x$. Seconde fois sur la nouvelle intégrale, $u = \sin x$, $v' = e^{x}$ : $\int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x = \left[e^{x}\sin x\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^{x}\cos x\,\mathrm{d}x = 0 - J$. Donc $J = -e^{\pi} - 1 - J$, soit

L'intégrale de départ est réapparue avec un signe moins : on la fait passer à gauche et on divise. Ni le cosinus ni l'exponentielle ne se simplifient par dérivation ; c'est la réapparition qui ferme le calcul, à condition de garder le même choix de $u$ (la fonction trigonométrique) aux deux étapes — sinon la seconde défait la première.

Relation de récurrence. Posons $I_n = \int_0^1 x^{n} e^{x}\,\mathrm{d}x$. Par parties avec $u = x^{n}$, $v' = e^{x}$ : $I_n = \left[x^{n}e^{x}\right]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}e^{x}\,\mathrm{d}x$, soit

D'où $I_1 = e - (e - 1) = 1$, $I_2 = e - 2$, $I_3 = e - 3(e - 2) = 6 - 2e \approx 0{,}563$. Une seule intégration par parties, faite une fois pour tout $n$, remplace $n$ calculs ; c'est l'autre visage de l'itération.

Changement de variable. Si $\varphi$ est dérivable à dérivée continue sur $[a\,;\,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a\,;\,b])$,

$$\int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,\mathrm{d}u.$$

En pratique on pose $u = \varphi(t)$, on écrit $\mathrm{d}u = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ — la différentielle n'est pas décorative : c'est elle qui apporte le facteur $\varphi'$ —, et l'on transforme les bornes : $t = a$ devient $u = \varphi(a)$. Exemple : $\int_0^1 x\sqrt{1 - x^{2}}\,\mathrm{d}x$ avec $u = 1 - x^{2}$, $\mathrm{d}u = -2x\,\mathrm{d}x$, bornes $1 \to 0$ :

Le signe moins de $\mathrm{d}u$ et l'inversion des bornes se compensent : c'est normal, et c'est un contrôle. Autre exemple, où l'on prépare la forme : $\sin^{3} x = \sin x\,(1 - \cos^{2} x)$, puis $u = \cos x$, $\mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$, bornes $0 \to \tfrac{\pi}{2}$ devenues $1 \to 0$ :

Fractions rationnelles simples. Deux situations étudiées ici.

• Dénominateur à racines réelles distinctes : on découpe en éléments de première espèce. $\dfrac{1}{x^{2} - 1} = \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x + 1}$ ; en réduisant, $a(x + 1) + b(x - 1) = 1$ pour tout $x$, d'où $a = \tfrac{1}{2}$ (en $x = 1$) et $b = -\tfrac{1}{2}$ (en $x = -1$). Le facteur $\tfrac{1}{2}$ est l'inverse de l'écart des racines : l'oublier est l'erreur classique. Alors $\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\left[\ln(x - 1) - \ln(x + 1)\right]_2^3 = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$ — sans valeur absolue ici, car $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$ sur $[2\,;\,3]$. De même $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$ (écart des racines : $1$), et $\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x + 1)} = \ln\frac{4}{3}$.
• Dénominateur sans racine réelle : on met sous forme canonique et l'on sépare ce qui est $\dfrac{u'}{u}$ de ce qui est $\dfrac{u'}{1 + u^{2}}$. Pour $\dfrac{2x + 3}{x^{2} + 2x + 5}$, le dénominateur vaut $(x + 1)^{2} + 4$ et sa dérivée est $2x + 2$ :

Le $\dfrac{1}{2}$ devant l'arctangente vient de $\dfrac{1}{(x + 1)^{2} + 4} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{1 + \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}}$, avec $u = \dfrac{x + 1}{2}$ et $u' = \dfrac{1}{2}$. Contrôle par dérivation, puis $\int_0^1 \frac{2x + 3}{x^{2} + 2x + 5}\,\mathrm{d}x = \ln\frac{8}{5} + \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} - \operatorname{arctan}\frac{1}{2}\right) \approx 0{,}631$.

Une primitive se vérifie en la dérivant. C'est le seul contrôle qui ne dépende d'aucune méthode ; il prend dix secondes et rattrape la plupart des erreurs de facteur et de signe.

Calculez $I=\int_1^e (\ln x)^2/x\,dx$ et $J=\int_1^e(\ln x)^2\,dx$. Les deux intégrandes diffèrent par le poids 1/x ; ils ne représentent pas la même intégrale.

Substitution pour I. Avec $u=\ln x$, $du=dx/x$ ; les bornes 1 et $e$ deviennent 0 et 1. Donc $I=\int_0^1u^2\,du=1/3$.

Même résultat par parties avec réapparition. Prenons $u=(\ln x)^2$ et $v'=1/x$, donc $v=\ln x$. La formule donne $I=[(\ln x)^3]_1^e-2I=1-2I$, soit $3I=1$. La réapparition n’exige pas forcément un couple exponentielle-trigonométrie.

Parties répétées pour J. Avec $u=(\ln x)^2$ et $v'=1$, $J=[x(\ln x)^2]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx$. Une seconde intégration par parties donne $\int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^e=1$. Ainsi $J=e-2\approx0,7183$.

Contrôle indépendant. Sur $[1;e]$, $0<1/x\leqslant1$ et $(\ln x)^2\geqslant0$, donc $0<I<J$. Les valeurs 1/3 et $e-2$ respectent cet ordre. Une primitive de l’intégrande de J est $x((\ln x)^2-2\ln x+2)$ : la dériver redonne bien $(\ln x)^2$.

Figure (fig.math.integral-area-and-sign, figure programmatique de la leçon de terminale sur l'intégrale, réutilisée ici parce qu'elle montre ce que toutes les techniques de ce chapitre servent à obtenir) : trois panneaux, aux échelles écrites sur la figure.

• Panneau 1. La courbe de $f(x) = 6x^{2} - 4x + 3$ sur $[0\,;\,3{,}5]$, le domaine entre la courbe et l'axe des abscisses hachuré de $x = 1$ à $x = 3$, et le calcul écrit sous le panneau : $\int_1^3 f = \left[2x^{3} - 2x^{2} + 3x\right]_1^3 = 45 - 3 = 42$ unités d'aire. Un témoin « une unité d'aire », rectangle plat à cette échelle, dit ce que vaut $42$. Ce qu'il faut y lire pour cette leçon : la primitive $2x^{3} - 2x^{2} + 3x$ était immédiate — un polynôme. Tout ce chapitre commence quand elle ne l'est pas ; mais la fin du calcul est toujours celle-ci, $F(b) - F(a)$, un nombre, l'aire hachurée.
• Panneau 2. La courbe de $g(x) = 4 - x^{2}$ sur $[0{,}2\,;\,3{,}2]$, positive avant $x = 2$, négative après. La région de gauche est hachurée dans un sens et comptée $+$, celle de droite dans l'autre sens et comptée $-$ ; une flèche dit « on découpe ici : relation de Chasles ». Pour cette leçon, Chasles et le changement de variable sont deux opérations distinctes. Un changement de variable transforme les bornes et l’intégrande, avec le facteur dérivé ; il conserve la valeur de l’intégrale lorsqu’on respecte la formule, sans affirmer que les deux régions dessinées dans des repères différents ont la même géométrie.
• Panneau 3. Le même domaine que le panneau 1 et, à côté, un rectangle de même aire et de largeur $3 - 1 = 2$, de hauteur $\mu = \dfrac{42}{2} = 21$ : la valeur moyenne de $f$ sur $[1\,;\,3]$. Pour contrôler une valeur calculée, on peut utiliser l’encadrement suivant : une intégrale est comprise entre (longueur) $\times$ (minimum) et (longueur) $\times$ (maximum).

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut imaginer : une intégration par parties — la figure fournie n’en propose pas d’interprétation géométrique ; l’identité provient ici de la dérivée du produit ; une fraction rationnelle et son découpage en éléments simples ; et la variable $u$ du changement de variable, qui serait un autre axe gradué autrement. La figure montre le résultat ; les méthodes de cette leçon sont le chemin.