Primitives : formes, parties et changement de variable

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ ; deux primitives diffèrent d'une constante, et $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$. Tu sais cela. Ce chapitre commence là où la table des primitives usuelles s'arrête : quand $f$ n'y figure pas, on la fabrique — en reconnaissant une dérivée de composée, en intégrant par parties, en changeant de variable, ou en découpant une fraction.

Lire à l'envers la dérivée d'une composée. Si $u$ est dérivable, la dérivée de $x \mapsto g(u(x))$ est $u' \cdot g'(u)$. Chaque ligne de la table usuelle devient donc une ligne « composée », à condition de voir le facteur $u'$ :

Exemples. $x\,e^{x^{2}}$ : on voit $u = x^{2}$, $u' = 2x$, il manque un facteur $2$ — donc $\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}$, et $\int_0^1 x\,e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{e - 1}{2}$. $\dfrac{x}{1 + x^{2}}$ : $u = 1 + x^{2}$, $u' = 2x$, forme $\dfrac{u'}{u}$ à un facteur $\dfrac{1}{2}$ près — primitive $\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$, et $\int_0^1 \frac{x}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{\ln 2}{2}$. Le facteur constant manquant se corrige ; un facteur variable manquant, non : $e^{x^{2}}$ seul n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Deux points de vigilance de la table. La ligne $u'/u$ donne $\ln \lvert u \rvert$ : sur un intervalle où $u < 0$, c'est $\ln(-u)$ qui convient, et l'on choisit l'intervalle avant d'écrire la primitive. La ligne $u'u^{n}$ exclut $n = -1$ : $\dfrac{x^{0}}{0}$ n'existe pas, et la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln \lvert x \rvert$, pas une puissance.

Intégrer par parties. Si $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[a\,;\,b]$,

$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \left[u(x)\,v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$$

C'est la formule $(uv)' = u'v + uv'$ intégrée. On l'emploie quand $f$ est un produit dont un facteur se simplifie par dérivation (un polynôme, un logarithme) et l'autre se primitive sans peine (une exponentielle, un sinus). $\int_0^{\pi} x \sin x\,\mathrm{d}x$ : $u = x$, $v' = \sin x$, $v = -\cos x$, d'où $\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \pi + 0 = \pi$. Et pour $\ln x$, qui n'est le produit de rien : $u = \ln x$, $v' = 1$, $v = x$, d'où $\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x = \left[x \ln x\right]_1^{e} - \int_1^{e} 1\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1$.

Ce que la terminale faisait en une ligne, la L1 le répète : un polynôme de degré $n$ demande $n$ intégrations par parties, une par degré perdu. Le calcul n'est terminé que lorsque la dernière intégrale est calculée — la première ligne n'est pas une réponse.

Parties répétées jusqu'à réapparition. Calculons $J = \int_0^{\pi} e^{x} \cos x\,\mathrm{d}x$. Première fois, $u = \cos x$, $v' = e^{x}$ : $J = \left[e^{x}\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^{x} \sin x\,\mathrm{d}x = (-e^{\pi} - 1) + \int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x$. Seconde fois sur la nouvelle intégrale, $u = \sin x$, $v' = e^{x}$ : $\int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x = \left[e^{x}\sin x\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^{x}\cos x\,\mathrm{d}x = 0 - J$. Donc $J = -e^{\pi} - 1 - J$, soit

L'intégrale de départ est réapparue avec un signe moins : on la fait passer à gauche et on divise. Ni le cosinus ni l'exponentielle ne se simplifient par dérivation ; c'est la réapparition qui ferme le calcul, à condition de garder le même choix de $u$ (la fonction trigonométrique) aux deux étapes — sinon la seconde défait la première.

Relation de récurrence. Posons $I_n = \int_0^1 x^{n} e^{x}\,\mathrm{d}x$. Par parties avec $u = x^{n}$, $v' = e^{x}$ : $I_n = \left[x^{n}e^{x}\right]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}e^{x}\,\mathrm{d}x$, soit

D'où $I_1 = e - (e - 1) = 1$, $I_2 = e - 2$, $I_3 = e - 3(e - 2) = 6 - 2e \approx 0{,}563$. Une seule intégration par parties, faite une fois pour tout $n$, remplace $n$ calculs ; c'est l'autre visage de l'itération.

Changement de variable. Si $\varphi$ est dérivable à dérivée continue sur $[a\,;\,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a\,;\,b])$,

$$\int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,\mathrm{d}u.$$

En pratique on pose $u = \varphi(t)$, on écrit $\mathrm{d}u = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ — la différentielle n'est pas décorative : c'est elle qui apporte le facteur $\varphi'$ —, et l'on transforme les bornes : $t = a$ devient $u = \varphi(a)$. Exemple : $\int_0^1 x\sqrt{1 - x^{2}}\,\mathrm{d}x$ avec $u = 1 - x^{2}$, $\mathrm{d}u = -2x\,\mathrm{d}x$, bornes $1 \to 0$ :

Le signe moins de $\mathrm{d}u$ et l'inversion des bornes se compensent : c'est normal, et c'est un contrôle. Autre exemple, où l'on prépare la forme : $\sin^{3} x = \sin x\,(1 - \cos^{2} x)$, puis $u = \cos x$, $\mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$, bornes $0 \to \tfrac{\pi}{2}$ devenues $1 \to 0$ :

Fractions rationnelles simples. Deux situations au programme.

• Dénominateur à racines réelles distinctes : on découpe en éléments de première espèce. $\dfrac{1}{x^{2} - 1} = \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x + 1}$ ; en réduisant, $a(x + 1) + b(x - 1) = 1$ pour tout $x$, d'où $a = \tfrac{1}{2}$ (en $x = 1$) et $b = -\tfrac{1}{2}$ (en $x = -1$). Le facteur $\tfrac{1}{2}$ est l'inverse de l'écart des racines : l'oublier est l'erreur classique. Alors $\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\left[\ln(x - 1) - \ln(x + 1)\right]_2^3 = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$ — sans valeur absolue ici, car $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$ sur $[2\,;\,3]$. De même $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$ (écart des racines : $1$), et $\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x + 1)} = \ln\frac{4}{3}$.
• Dénominateur sans racine réelle : on met sous forme canonique et l'on sépare ce qui est $\dfrac{u'}{u}$ de ce qui est $\dfrac{u'}{1 + u^{2}}$. Pour $\dfrac{2x + 3}{x^{2} + 2x + 5}$, le dénominateur vaut $(x + 1)^{2} + 4$ et sa dérivée est $2x + 2$ :

Le $\dfrac{1}{2}$ devant l'arctangente vient de $\dfrac{1}{(x + 1)^{2} + 4} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{1 + \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}}$, avec $u = \dfrac{x + 1}{2}$ et $u' = \dfrac{1}{2}$. Contrôle par dérivation, puis $\int_0^1 \frac{2x + 3}{x^{2} + 2x + 5}\,\mathrm{d}x = \ln\frac{8}{5} + \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} - \operatorname{arctan}\frac{1}{2}\right) \approx 0{,}631$.

Une primitive se vérifie en la dérivant. C'est le seul contrôle qui ne dépende d'aucune méthode ; il prend dix secondes et rattrape la plupart des erreurs de facteur et de signe.

Énoncé. Calculer

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$A$ : par parties, deux fois. Le facteur $x^{2}$ perd un degré à chaque dérivation ; $e^{x}$ se primitive sans changer. Première fois, $u = x^{2}$, $v' = e^{x}$ :

Ce n'est pas fini : il reste une intégrale. Seconde fois, $u = x$, $v' = e^{x}$ :

$A = e - 2 \times 1 = e - 2 \approx 0{,}718$.

Contrôle : $x^{2}e^{x}$ est positive et inférieure à $e^{x}$ sur $[0\,;\,1]$, donc $0 < A < e - 1 \approx 1{,}72$. $\checkmark$ (Autre lecture : $A = I_2$ de la relation de récurrence.)

$B$ : changement de variable, après préparation. On isole un $\sin x$ pour la différentielle et l'on exprime le reste en cosinus : $\sin^{3} x = (1 - \cos^{2} x)\sin x$. Avec $u = \cos x$, $\mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$ ; quand $x$ va de $0$ à $\tfrac{\pi}{2}$, $u$ va de $1$ à $0$ :

$B = \dfrac{2}{3}$.

Contrôle : $0 \le \sin^{3} x \le \sin x$ sur $[0\,;\,\tfrac{\pi}{2}]$, et $\int_0^{\pi/2} \sin x\,\mathrm{d}x = 1$, donc $0 < B < 1$. $\checkmark$ Si l'on avait gardé les bornes $0$ et $\tfrac{\pi}{2}$ avec la variable $u$, on aurait obtenu $\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi^{3}}{24}$, un nombre sans rapport avec $B$.

$C$ : éléments de première espèce. $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$, racines $1$ et $-1$, écart $2$ :

(Vérification : $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{x^{2} - 1}$. $\checkmark$) Sur $[2\,;\,3]$, $x - 1$ et $x + 1$ sont strictement positifs : les logarithmes s'écrivent sans valeur absolue.

$C = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0{,}203$.

Contrôle : sur $[2\,;\,3]$, $\dfrac{1}{x^{2} - 1}$ est comprise entre $\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{3}$, donc $C$ entre $0{,}125$ et $0{,}333$. $\checkmark$

Lecture. Aucune des trois fonctions n'était dans la table. $A$ demandait de répéter ; $B$, de préparer la forme puis de transformer les bornes ; $C$, de découper en n'oubliant pas l'écart des racines. Et chaque résultat a été encadré par un argument indépendant du calcul.

Figure (fig.math.integral-area-and-sign, figure programmatique de la leçon de terminale sur l'intégrale, réutilisée ici parce qu'elle montre ce que toutes les techniques de ce chapitre servent à obtenir) : trois panneaux, aux échelles écrites sur la figure.

• Panneau 1. La courbe de $f(x) = 6x^{2} - 4x + 3$ sur $[0\,;\,3{,}5]$, le domaine entre la courbe et l'axe des abscisses hachuré de $x = 1$ à $x = 3$, et le calcul écrit sous le panneau : $\int_1^3 f = \left[2x^{3} - 2x^{2} + 3x\right]_1^3 = 45 - 3 = 42$ unités d'aire. Un témoin « une unité d'aire », rectangle plat à cette échelle, dit ce que vaut $42$. Ce qu'il faut y lire pour cette leçon : la primitive $2x^{3} - 2x^{2} + 3x$ était immédiate — un polynôme. Tout ce chapitre commence quand elle ne l'est pas ; mais la fin du calcul est toujours celle-ci, $F(b) - F(a)$, un nombre, l'aire hachurée.
• Panneau 2. La courbe de $g(x) = 4 - x^{2}$ sur $[0{,}2\,;\,3{,}2]$, positive avant $x = 2$, négative après. La région de gauche est hachurée dans un sens et comptée $+$, celle de droite dans l'autre sens et comptée $-$ ; une flèche dit « on découpe ici : relation de Chasles ». Pour cette leçon, c'est le geste du changement de variable : quand on remplace $x$ par $u = \varphi(x)$, on découpe et re-paramètre le même domaine — les bornes changent parce que le domaine est décrit par une autre variable, pas parce que l'aire change. Un changement de variable qui ne transforme pas les bornes calcule l'aire d'un autre domaine.
• Panneau 3. Le même domaine que le panneau 1 et, à côté, un rectangle de même aire et de largeur $3 - 1 = 2$, de hauteur $\mu = \dfrac{42}{2} = 21$ : la valeur moyenne de $f$ sur $[1\,;\,3]$. C'est l'encadrement qu'on a utilisé pour contrôler $A$, $B$ et $C$ : une intégrale est comprise entre (longueur) $\times$ (minimum) et (longueur) $\times$ (maximum).

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut imaginer : une intégration par parties — il n'y a pas d'image simple de $\left[uv\right]_a^b - \int u'v$, c'est une identité algébrique, pas une découpe ; une fraction rationnelle et son découpage en éléments simples ; et la variable $u$ du changement de variable, qui serait un autre axe gradué autrement. La figure montre le résultat ; les méthodes de cette leçon sont le chemin.

Le contrôle universel. Dériver la primitive obtenue ; encadrer l'intégrale par (longueur) $\times$ (min, max) ; vérifier le signe.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Les sommes de Riemann, la décomposition en éléments simples générale (pôles doubles, éléments de seconde espèce), les règles de Bioche, les intégrales sur un intervalle non borné.

1. Changer de variable sans transformer les bornes. Après $u = \cos x$ sur $[0\,;\,\tfrac{\pi}{2}]$, les bornes sont $1$ et $0$, pas $0$ et $\tfrac{\pi}{2}$. Évaluer la nouvelle primitive aux anciennes bornes donne un nombre qui n'est l'intégrale de rien.
2. Traiter $\mathrm{d}x$ comme un symbole décoratif. $\mathrm{d}u = \varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ apporte un facteur. Dans $\int x\sqrt{1 - x^{2}}\,\mathrm{d}x$ avec $u = 1 - x^{2}$, c'est $-\tfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u$ qui remplace $x\,\mathrm{d}x$ — pas $\mathrm{d}u$.
3. Écrire $\ln u$ sans valeur absolue sans avoir regardé le signe de $u$. La primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln\lvert u \rvert$ ; sur un intervalle où $u < 0$, c'est $\ln(-u)$. On fixe l'intervalle d'abord.
4. Oublier le facteur des éléments simples. $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)}$ n'est pas $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}$ mais la moitié de cette différence : l'écart des racines vaut $2$. Une vérification par réduction au même dénominateur le montre en une ligne.
5. Appliquer $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ à $n = -1$. La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln\lvert x \rvert$ ; la formule des puissances y divise par zéro.
6. S'arrêter à la première ligne d'une intégration par parties. $e - 2\int_0^1 x e^{x}\,\mathrm{d}x$ n'est pas la valeur de $A$ : il reste une intégrale à calculer. Tant qu'un signe $\int$ subsiste, le calcul n'est pas terminé.
7. Changer de choix entre les deux parties d'une réapparition. Pour $\int e^{x}\cos x$, prendre $u = \cos x$ puis $u = e^{x}$ à la seconde étape défait la première et redonne l'égalité $J = J$. Même rôle aux deux étapes.
8. Confondre $\dfrac{u'}{u}$ et $\dfrac{u'}{1 + u^{2}}$. L'une donne un logarithme, l'autre une arctangente. Dans $\dfrac{2x + 3}{x^{2} + 2x + 5}$, il y a les deux : on sépare avant de primitiver.
9. Oublier la constante $\dfrac{1}{q}$ devant l'arctangente. $\dfrac{1}{(x + 1)^{2} + 4}$ a pour primitive $\dfrac{1}{2}\operatorname{arctan}\dfrac{x + 1}{2}$, pas $\operatorname{arctan}\dfrac{x + 1}{2}$. Dériver le candidat le révèle aussitôt.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon porte sur ce chapitre lui-même. Il tire une intégrale sur un segment dont la valeur ne s'obtient qu'en calculant une primitive par la technique visée : intégration par parties ($x\,e^{x}$, $\ln x$, $x\cos x$), changement de variable ou forme composée ($\dfrac{x}{1 + x^{2}}$, $x\,e^{-x^{2}}$, $x\sqrt{1 + x^{2}}$), éléments simples ($\dfrac{1}{(x + p)(x + q)}$) ou forme canonique et arctangente ($\dfrac{1}{x^{2} + 2bx + c}$, discriminant négatif). Le corrigé écrit la primitive, les bornes transformées quand on change de variable, la valeur exacte puis la valeur approchée, et un contrôle par dérivation ; chaque valeur est vérifiée par une intégration numérique indépendante. La reconnaissance des formes usuelles reste servie par le QCM de terminale.

Énoncé type. On note $I$ l'intégrale sur $[0\,;\,1]$ de $f(x) = x\,e^{x}$, $J$ l'intégrale sur $[0\,;\,1]$ de $g(x) = \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)}$ et $K$ l'intégrale sur $[0\,;\,1]$ de $h(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 2x + 5}$.

1. Calculer $I$.
2. Calculer $J$ (valeur exacte, puis approchée).
3. Calculer $K$ (valeur exacte, puis approchée).

Corrigé complet.

1. Par parties. $u = x$, $v' = e^{x}$ : la primitive de $x\,e^{x}$ est $x\,e^{x} - e^{x} = (x - 1)e^{x}$ — la seconde intégrale (celle de $e^{x}$) est calculée, pas laissée en suspens. Entre $0$ et $1$ :

$I = (1 - 1)e^{1} - (0 - 1)e^{0} = 0 + 1 = 1$.

Contrôle : dériver $(x - 1)e^{x}$ redonne $e^{x} + (x - 1)e^{x} = x\,e^{x}$. $\checkmark$

2. Éléments simples. $\dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2}$ avec $A = 1$ (multiplier par $x + 1$, faire $x = -1$) et $B = -1$ : le facteur $\dfrac{1}{q - p} = \dfrac{1}{2 - 1}$ vaut $1$ ici, mais il est bien là. Sur $[0\,;\,1]$ les deux arguments sont positifs, donc

$J = \left[\ln(x + 1) - \ln(x + 2)\right]_0^1 = \ln\dfrac{2}{3} - \ln\dfrac{1}{2} = \ln\dfrac{4}{3} \approx 0{,}2877$.

3. Forme canonique. Discriminant $4 - 20 < 0$ : $x^{2} + 2x + 5 = (x + 1)^{2} + 2^{2}$. Une primitive est $\dfrac{1}{2}\operatorname{arctan}\dfrac{x + 1}{2}$ — le facteur $\dfrac{1}{q}$ ne s'oublie pas. Donc

$K = \dfrac{1}{2}\left(\operatorname{arctan} 1 - \operatorname{arctan}\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4} - \operatorname{arctan}\dfrac{1}{2}\right) \approx 0{,}1609$.

Ce n'est pas un logarithme : le numérateur est constant, pas proportionnel à $2x + 2$.

Réponses : $I = 1$ ; $J = \ln\dfrac{4}{3} \approx 0{,}288$ ; $K \approx 0{,}161$.

Auto-contrôle. Ai-je calculé la seconde intégrale de chaque intégration par parties ? Ai-je vérifié le signe des arguments avant d'écrire un logarithme ? Ai-je réduit au même dénominateur pour contrôler ma décomposition, et gardé le facteur $\dfrac{1}{q}$ devant l'arctangente ? Ai-je dérivé ma primitive avant d'évaluer aux bornes ?