Les pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer

Un magasin annonce « $30$ % de remise ». Un article coûtait $80$ €. Combien coûte-t-il maintenant ?

Pour répondre, il faut d'abord comprendre ce que le symbole $\%$ veut dire.

Le sens du symbole. Un pourcentage est une proportion écrite sur $100$. Écrire $30$ %, c'est écrire la fraction $\dfrac{30}{100}$. Le mot lui-même le dit : « pour cent », c'est-à-dire « sur cent ».

Une image. Imagine que la quantité de départ soit une barre découpée en $100$ parts égales. Prendre $30$ % de cette quantité, c'est prendre $30$ de ces $100$ parts.

Prendre un pourcentage, c'est multiplier. Pour calculer $30$ % d'une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{30}{100}$. Sur notre article à $80$ € :

La remise vaut $24$ €. Le client paie donc $80 - 24 = 56$ €.

Pourquoi cela marche : c'est de la proportionnalité. Le montant de la remise est proportionnel au prix de l'article. Le coefficient de proportionnalité vaut $\dfrac{30}{100}$, soit $0{,}30$. Tout ce que tu sais de la proportionnalité s'applique donc aux pourcentages, sans rien de nouveau.

Un pourcentage ne précise pas à lui seul une quantité dans l’unité de la grandeur. Voilà le point le plus important, et le plus souvent raté. $30$ % n'est pas $30$ €, ni $30$ élèves, ni $30$ grammes. C'est une proportion : elle ne prend une valeur concrète qu'une fois appliquée à une quantité. $30$ % de $80$ € valent $24$ € ; $30$ % de $200$ € valent $60$ €. Le pourcentage est le même, la quantité obtenue est différente.

Quelques pourcentages utiles à reconnaître. $50$ % d'une quantité, c'est sa moitié. $25$ % en est le quart. $10$ % s'obtient en divisant par $10$. $1$ % s'obtient en divisant par $100$. Ces repères servent à contrôler un résultat sans calculatrice.

Dans l'autre sens : exprimer une proportion en pourcentage. Sur $250$ élèves d'un collège, $80$ sont externes. Quelle proportion cela fait-il ? On divise la partie par le tout, puis on multiplie par $100$ :

Les externes représentent $32$ % des élèves.

Diminuer d'un pourcentage. Il y a deux chemins, et ils donnent toujours le même résultat.

Premier chemin, en deux temps : on calcule la part retirée, puis on la retranche. Pour une remise de $30$ % sur $80$ € :

Second chemin, en une seule fois : si l'on retire $30$ %, on garde $100 - 30 = 70$ % du prix.

Le second chemin est plus rapide ; le premier est plus facile à comprendre. Utilise l'un pour calculer, l'autre pour vérifier : trouver deux fois le même nombre est un contrôle de cohérence, à compléter par la vérification du modèle et des données.

Augmenter d'un pourcentage. Le raisonnement est le même, avec une addition. Un club comptait $150$ adhérents ; leur nombre augmente de $20$ %.

Premier chemin :

Second chemin : augmenter de $20$ %, c'est obtenir $100 + 20 = 120$ % de la quantité de départ.

Deux hausses ne s'additionnent pas. Une quantité de $200$ augmente de $20$ %, puis augmente encore de $20$ %. On pourrait croire que cela fait $40$ % en tout. C'est faux, et le calcul le montre :

Alors qu'une hausse unique de $40$ % donnerait $200 + 80 = 280$. La différence vient de ce que la seconde hausse s'applique à $240$, et non plus à $200$. Un pourcentage se rapporte toujours à une quantité précise : changer cette quantité change le résultat.

Une baisse n'annule pas une hausse de même taux. Reprenons $200$, augmenté de $20$ %, ce qui donne $240$. On diminue maintenant de $20$ % :

On ne revient pas à $200$, mais à $192$. Pour la même raison : la hausse portait sur $200$, la baisse porte sur $240$.

Périmètre choisi : on calcule chaque étape séparément. Additionner les taux ne donne pas en général le taux total d’évolutions successives ; si un taux vaut zéro, certaines égalités particulières restent possibles.

Points et pourcentages ne sont pas la même chose. Aux dernières élections d'un conseil de vie collégienne, une liste passe de $30$ % à $33$ % des voix. Elle a gagné trois points. Elle n'a pas gagné $3$ %, car $3$ % de $30$ % ne feraient que $0{,}9$ point. Le mot « point » sert précisément à désigner un écart entre deux pourcentages, et il évite cette confusion.

Le contrôle d'ordre de grandeur, toujours. Pour une quantité initiale strictement positive et un taux compris entre $0$ et $50$ % exclu, la part est inférieure à la moitié. Une remise de taux strictement positif diminue le prix ; une hausse de taux strictement positif augmente la quantité. Avec un taux nul ou une quantité initiale nulle, il faut admettre l’égalité. Ces contrôles rapides peuvent signaler une incohérence, sans garantir à eux seuls l’exactitude du calcul.

Énoncé. Une association commande $12$ carnets à $7,50$ € pièce. Le vendeur applique une remise de $20$ % sur les carnets seulement ; il ajoute ensuite $6$ € de livraison, non remisés. Quel est le montant payé ? Quelle économie la remise procure-t-elle par rapport à la même commande sans remise, livraison comprise ?

Séparer les bases de calcul. Les carnets coûtent initialement $12\times7,50=90$ €. Les $20$ % portent sur ces $90$ €, pas sur les frais de livraison.

Calculer la remise puis le total.

L’association paie 78 €. On peut vérifier la ligne des carnets par $90\times80/100=72$ €, puis ajouter les $6$ €.

Choisir le bon tout pour comparer. Sans remise, la commande aurait coûté $90+6=96$ €. L’économie est de $18$ €, soit

du total initial livraison comprise. Ce taux n’est pas $20$ %, car les frais fixes n’ont pas été remisés.

Contrôle et piège évité. Appliquer $20$ % aux $96$ € donnerait à tort $76,80$ €. Le bon total, $78$ €, est inférieur à $96$ € mais supérieur à $72$ €, puisqu’il inclut la livraison. Un pourcentage doit toujours être rattaché à sa base exacte.

Figure (fig.math.percentage-bar, SVG programmatique existant) : trois barres de même longueur découpées en $100$ parts, qui montrent successivement une part prélevée, une remise, et le piège des évolutions successives.

• Barre 1, en haut, longue et découpée en $100$ cases fines de largeur identique, avec un trait plus épais toutes les $10$ cases. Les $30$ premières cases sont remplies ; les $70$ suivantes restent vides. Une accolade sous les cases remplies porte « $30$ % », une accolade sous les cases vides porte « $70$ % ». À gauche de la barre, l'étiquette « quantité de départ : $84$ € » ; sous les deux accolades, les valeurs correspondantes, « $25{,}20$ € » et « $58{,}80$ € ».
• Barre 2, au milieu, de même longueur, illustrant la remise. Elle est identique à la barre 1, mais la zone des $30$ premières cases est barrée d'une croix et légendée « retiré », tandis que la zone restante est mise en valeur et légendée « prix payé ». Deux calculs sont alignés à droite, l'un sous l'autre : $84 - 25{,}20 = 58{,}80$ et $84 \times 70 \div 100 = 58{,}80$, reliés par une accolade portant « deux chemins, un seul résultat ».
• Bloc 3, en bas, séparé par un filet, consacré aux évolutions successives. Trois barres horizontales courtes et empilées, dont les longueurs sont proportionnelles aux valeurs : $200$, puis $240$, puis $288$. Entre la première et la deuxième, une flèche « $+20$ % » avec la mention « $+40$ » ; entre la deuxième et la troisième, une flèche « $+20$ % » avec la mention « $+48$ ». Sous ces trois barres, une quatrième barre de longueur $280$, dessinée en pointillés et barrée, légendée « ce que donnerait $+40$ % : $280$, et non $288$ ». La différence de longueur entre $288$ et $280$ est signalée par une petite double flèche.
• Encart des points, en bas à droite : deux barres courtes marquées $30$ % et $33$ %, avec une double flèche entre leurs extrémités portant « $3$ points », et à côté, barrée, la mention « $3$ % ».

Ce qu'il faut lire. La barre à $100$ cases rend visible que le pourcentage est une part du tout, et que les deux chemins de calcul aboutissent au même endroit. Le bloc du bas montre, par la seule longueur des barres, que deux hausses de $20$ % dépassent une hausse de $40$ % : la deuxième hausse s'applique à une barre déjà allongée.

La figure en détail : trois blocs superposés. En haut, une barre découpée en cent cases égales, dont les trente premières sont remplies et les soixante-dix suivantes vides ; deux accolades indiquent trente pour cent et soixante-dix pour cent, correspondant à vingt-cinq euros vingt et cinquante-huit euros quatre-vingts sur une quantité de départ de quatre-vingt-quatre euros. Au milieu, la même barre, la zone des trente premières cases barrée et légendée retiré, le reste légendé prix payé ; à droite, deux calculs donnant tous deux cinquante-huit euros quatre-vingts. En bas, trois barres empilées de longueurs proportionnelles à deux cents, deux cent quarante et deux cent quatre-vingt-huit, reliées par deux flèches de plus vingt pour cent valant respectivement plus quarante et plus quarante-huit ; une quatrième barre en pointillés, de longueur deux cent quatre-vingts, est barrée et légendée comme le résultat d'une hausse unique de quarante pour cent. En bas à droite, deux barres courtes marquées trente pour cent et trente-trois pour cent, séparées par une double flèche portant trois points, la mention trois pour cent étant barrée.