Notation scientifique : écrire les grands et petits nombres

Certains nombres des sciences sont très grands, d'autres très petits. La vitesse de la lumière dans le vide vaut environ $300\,000\,000$ mètres par seconde ; un atome mesure environ $0{,}000\,000\,000\,1$ mètre. Écrits ainsi, ces nombres sont pénibles à lire, faciles à recopier de travers, et impossibles à comparer d'un coup d'œil.

La notation scientifique résout le problème. Elle impose une écriture unique :

Un nombre décimal strictement positif est en notation scientifique quand il s'écrit $a \times 10^{n}$, où $n$ est un entier relatif et où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$.

Le nombre $a$ s'appelle la mantisse. La condition $1 \leq a < 10$ est la clé : elle signifie que la mantisse a exactement un chiffre non nul avant la virgule. Ni zéro, ni deux.

Pourquoi une écriture unique ? Parce que le même nombre admet une infinité d'écritures de la forme « quelque chose fois une puissance de dix » :

Toutes sont numériquement justes. Une seule est la notation scientifique : $4{,}73 \times 10^{3}$, la seule dont la mantisse est comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu. Les autres sont des écritures correctes, mais pas la notation scientifique.

Le mécanisme : déplacer la virgule, compenser avec l'exposant. Multiplier par $10$ déplace la virgule d'un rang vers la droite ; diviser par $10$ la déplace d'un rang vers la gauche. Quand on déplace la virgule de la mantisse, on doit compenser exactement par l'exposant, pour que le nombre ne change pas.

Prends $4\,730$. Pour obtenir une mantisse entre $1$ et $10$, on place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $4{,}730$. On a divisé par $1\,000$, c'est-à-dire par $10^{3}$ ; il faut donc remultiplier par $10^{3}$ :

Prends maintenant $0{,}000\,52$. La virgule doit se placer après le $5$, premier chiffre non nul : $5{,}2$. Cette fois on a multiplié par $10\,000$, il faut donc diviser par $10^{4}$ :

Retiens la traduction, elle suffit à tout : pour un nombre strictement positif : nombre supérieur ou égal à $10$ $\Rightarrow$ exposant positif ; nombre inférieur à $1$ $\Rightarrow$ exposant négatif.

Compter les rangs sans se tromper. L'exposant $n$ est le nombre de rangs dont la virgule s'est déplacée, avec un signe qui dépend du sens.

• Si le nombre est supérieur ou égal à $10$, la virgule recule vers la gauche : $n$ est positif, et vaut le nombre de rangs franchis. Dans $47\,300$, la virgule est sous-entendue à droite du dernier zéro ; elle doit reculer de $4$ rangs pour arriver après le $4$. Donc $47\,300 = 4{,}73 \times 10^{4}$.
• Si le nombre est strictement inférieur à $1$, la virgule avance vers la droite : $n$ est négatif, et sa valeur absolue est le nombre de rangs franchis. Dans $0{,}000\,52$, la virgule avance de $4$ rangs. Donc $0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{-4}$.
• Si le nombre vérifie $1 \leq N < 10$, il est déjà sa propre mantisse : $n = 0$. Ainsi $7{,}4 = 7{,}4 \times 10^{0}$.

Une vérification qui ne trompe pas. Une fois l'écriture obtenue, redéplie-la mentalement. $5{,}2 \times 10^{-4}$ : exposant négatif, donc nombre plus petit que $1$ ; on avance la virgule de $4$ rangs vers la gauche, on retrouve $0{,}000\,52$. Si en redépliant tu ne retombes pas sur le nombre de départ, l'exposant est faux — souvent d'une unité, ou de signe.

Chiffres significatifs. La notation scientifique ne change pas la précision d'un nombre, elle la rend lisible. Dans $4{,}73 \times 10^{4}$, la mantisse porte trois chiffres significatifs : cette écriture affiche trois chiffres significatifs si l’on décrit une mesure. Elle n’indique pas à elle seule une incertitude de mesure ; un nombre mathématique peut aussi être exact. C'est un avantage réel sur $47\,300$, où l'on ne sait pas si les zéros sont mesurés ou seulement là pour marquer le rang.

Ordre de grandeur. L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ qui le résume : on choisit ici une puissance de $10$ selon une convention locale. Dans les exercices de cette leçon, si la mantisse est inférieure à $5$, l'ordre de grandeur est $10^{n}$ ; si elle est supérieure ou égale à $5$, c'est $10^{n+1}$. Le seuil $5$ est la convention retenue ici, pas une conséquence unique de la définition générale d’un ordre de grandeur. D’autres conventions existent ; il faut employer celle donnée par la consigne. Ainsi, l'ordre de grandeur de $4{,}73 \times 10^{4}$ est $10^{4}$, et celui de $8{,}1 \times 10^{6}$ est $10^{7}$. C'est ce qui permet de dire, sans calcul détaillé, que la population de la France est de l'ordre de $10^{8}$ habitants alors que celle d'un village est de l'ordre de $10^{3}$ : cent mille fois moins.

Comparer deux nombres en notation scientifique. On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant l'emporte, quelle que soit la mantisse. $1{,}2 \times 10^{7}$ est plus grand que $9{,}9 \times 10^{6}$. Ce n'est qu'à exposants égaux qu'on compare les mantisses.

Multiplier deux écritures scientifiques. On regroupe les mantisses d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre :

Puis — et c'est l'étape que tout le monde oublie — on vérifie que le produit $a \times b$ est bien compris entre $1$ et $10$. Si ce n'est pas le cas, le résultat n'est pas encore en notation scientifique et il faut réajuster :

Deux mantisses inférieures à $10$ peuvent donner un produit supérieur à $10$ : dans ce cas, l'exposant final vaut $p + q + 1$, et non $p + q$. Le réflexe : calculer les mantisses, puis regarder si le résultat dépasse $10$.

Énoncé. Un capteur envoie $2\,500$ paquets par minute pendant $18$ minutes. Chaque paquet occupe $32$ octets. Ces valeurs sont des données exactes du modèle. Quel volume total est enregistré ? Écris-le en notation scientifique, puis vérifie si une mémoire de $1,5\times10^6$ octets suffit.

Relier les trois données. Le nombre de paquets est $2\,500\times18=45\,000$. Chaque paquet occupe $32$ octets ; le volume total vaut donc

Normaliser. On place la virgule après le premier chiffre non nul :

Le coefficient $1,44$ appartient à $[1;10[$. Le facteur $10^6$ reconstitue bien $1\,440\,000$ ; les zéros de cette écriture ne représentent pas ici une incertitude de mesure.

Comparer dans la même unité. Les deux volumes portent le même facteur $10^6$. Puisque $1,44<1,5$, la mémoire suffit dans ce modèle. Il reste

L’écriture intermédiaire $0,06\times10^6$ est exacte mais non normalisée. Ce calcul ignore tout espace supplémentaire de stockage, absent des données.

Figure (fig.math.scientific-notation-comma, SVG programmatique existant) : deux panneaux qui montrent le déplacement de la virgule et la compensation par l'exposant, plus un encadré sur le réajustement.

• Panneau supérieur — un grand nombre. Le nombre $47\,300$ écrit en gros, chiffre par chiffre, chaque chiffre dans sa case d'une grille horizontale. Une virgule mobile est dessinée deux fois : en gris clair à sa position initiale (à droite du dernier zéro) et en trait plein à sa position finale (entre le $4$ et le $7$). Une flèche courbe relie les deux positions, orientée vers la gauche, avec les rangs franchis numérotés $1$, $2$, $3$, $4$ sous les cases correspondantes. À droite, le résultat $4{,}73 \times 10^{4}$, l'exposant $4$ étant relié par un trait fin au compteur de rangs — pour rendre visible que c'est le même $4$.
• Panneau inférieur — un petit nombre. Même dispositif pour $0{,}000\,52$ : virgule initiale en gris après le $0$ des unités, virgule finale entre le $5$ et le $2$, flèche courbe orientée vers la droite, rangs numérotés $1$ à $4$. À droite, $5{,}2 \times 10^{-4}$, avec le signe moins de l'exposant relié au sens de la flèche par un trait fin et la mention « la virgule est allée vers la droite ».
• Une bande verticale à gauche des deux panneaux porte la règle, écrite une seule fois : « virgule vers la gauche $\Rightarrow$ exposant positif ; virgule vers la droite $\Rightarrow$ exposant négatif ».
• Encadré, en bas, séparé par un filet — le réajustement. Trois lignes alignées verticalement sur la virgule : $12 \times 10^{5}$ marqué d'une croix et de la mention « mantisse trop grande », puis $1{,}2 \times 10^{1} \times 10^{5}$, puis $1{,}2 \times 10^{6}$ encadré. Une accolade souligne le passage de l'exposant $5$ à l'exposant $6$, annotée « $+1$ vient de la mantisse ».
• Un ruban de contrôle en tout bas rappelle la condition, avec une droite graduée de $0$ à $12$ : la zone allant de $1$ inclus à $10$ exclu est tramée et étiquetée « mantisse valide », le point $12$ est hors zone et barré, le point $0{,}473$ est hors zone et barré aussi.

Ce qu'il faut lire. Le nombre de rangs franchis est la valeur absolue de l’exposant : c'est ce que dit le trait fin qui les relie. Le sens de la flèche, et lui seul, donne le signe. Et le ruban du bas rappelle que la mantisse doit atterrir entre $1$ inclus et $10$ exclu : $12$ est trop grand, $0{,}473$ trop petit — ni l'un ni l'autre n'est une notation scientifique, même si le nombre représenté est juste.

La figure en détail : deux panneaux superposés. Dans le panneau du haut, le nombre quarante-sept mille trois cents est écrit chiffre par chiffre dans une grille ; une virgule grise à droite du dernier zéro et une virgule pleine entre le quatre et le sept sont reliées par une flèche courbe orientée vers la gauche, au-dessus de quatre rangs numérotés de un à quatre ; à droite figure l'écriture quatre virgule soixante-treize fois dix puissance quatre, son exposant relié par un trait au compteur de rangs. Dans le panneau du bas, le même dispositif pour zéro virgule zéro zéro zéro cinquante-deux, avec une flèche orientée vers la droite et l'écriture cinq virgule deux fois dix puissance moins quatre, le signe moins étant relié au sens de la flèche. Une bande verticale à gauche énonce la règle : virgule vers la gauche, exposant positif ; virgule vers la droite, exposant négatif. En bas, un encadré montre en trois lignes le passage de douze fois dix puissance cinq à un virgule deux fois dix puissance six, avec une accolade indiquant que l'unité ajoutée à l'exposant vient de la mantisse. Un ruban final présente une droite graduée où seule la zone allant de un inclus à dix exclu est tramée et étiquetée mantisse valide.