La notation scientifique : une seule écriture pour chaque nombre

Certains nombres des sciences sont très grands, d'autres très petits. La vitesse de la lumière dans le vide vaut environ $300\,000\,000$ mètres par seconde ; un atome mesure environ $0{,}000\,000\,000\,1$ mètre. Écrits ainsi, ces nombres sont pénibles à lire, faciles à recopier de travers, et impossibles à comparer d'un coup d'œil.

La notation scientifique résout le problème. Elle impose une écriture unique :

Un nombre positif est en notation scientifique quand il s'écrit $a \times 10^{n}$, où $n$ est un entier relatif et où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$.

Le nombre $a$ s'appelle la mantisse. La condition $1 \leq a < 10$ est la clé : elle signifie que la mantisse a exactement un chiffre non nul avant la virgule. Ni zéro, ni deux.

Pourquoi une écriture unique ? Parce que le même nombre admet une infinité d'écritures de la forme « quelque chose fois une puissance de dix » :

Toutes sont numériquement justes. Une seule est la notation scientifique : $4{,}73 \times 10^{3}$, la seule dont la mantisse est comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu. Les autres sont des écritures correctes, mais pas la notation scientifique.

Le mécanisme : déplacer la virgule, compenser avec l'exposant. Multiplier par $10$ déplace la virgule d'un rang vers la droite ; diviser par $10$ la déplace d'un rang vers la gauche. Quand on déplace la virgule de la mantisse, on doit compenser exactement par l'exposant, pour que le nombre ne change pas.

Prends $4\,730$. Pour obtenir une mantisse entre $1$ et $10$, on place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $4{,}730$. On a divisé par $1\,000$, c'est-à-dire par $10^{3}$ ; il faut donc remultiplier par $10^{3}$ :

Prends maintenant $0{,}000\,52$. La virgule doit se placer après le $5$, premier chiffre non nul : $5{,}2$. Cette fois on a multiplié par $10\,000$, il faut donc diviser par $10^{4}$ :

Retiens la traduction, elle suffit à tout : nombre plus grand que $10$ $\Rightarrow$ exposant positif ; nombre plus petit que $1$ $\Rightarrow$ exposant négatif.

Compter les rangs sans se tromper. L'exposant $n$ est le nombre de rangs dont la virgule s'est déplacée, avec un signe qui dépend du sens.

• Si le nombre est supérieur ou égal à $10$, la virgule recule vers la gauche : $n$ est positif, et vaut le nombre de rangs franchis. Dans $47\,300$, la virgule est sous-entendue à droite du dernier zéro ; elle doit reculer de $4$ rangs pour arriver après le $4$. Donc $47\,300 = 4{,}73 \times 10^{4}$.
• Si le nombre est strictement inférieur à $1$, la virgule avance vers la droite : $n$ est négatif, et sa valeur absolue est le nombre de rangs franchis. Dans $0{,}000\,52$, la virgule avance de $4$ rangs. Donc $0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{-4}$.
• Si le nombre est entre $1$ et $10$, il est déjà sa propre mantisse : $n = 0$. Ainsi $7{,}4 = 7{,}4 \times 10^{0}$.

Une vérification qui ne trompe pas. Une fois l'écriture obtenue, redéplie-la mentalement. $5{,}2 \times 10^{-4}$ : exposant négatif, donc nombre plus petit que $1$ ; on avance la virgule de $4$ rangs vers la gauche, on retrouve $0{,}000\,52$. Si en redépliant tu ne retombes pas sur le nombre de départ, l'exposant est faux — souvent d'une unité, ou de signe.

Chiffres significatifs. La notation scientifique ne change pas la précision d'un nombre, elle la rend lisible. Dans $4{,}73 \times 10^{4}$, la mantisse porte trois chiffres significatifs : le nombre est connu à trois chiffres près. C'est un avantage réel sur $47\,300$, où l'on ne sait pas si les zéros sont mesurés ou seulement là pour marquer le rang.

Ordre de grandeur. L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ qui le résume : on l'obtient en arrondissant la mantisse à $1$ ou à $10$. On convient donc que si la mantisse est inférieure à $5$, l'ordre de grandeur est $10^{n}$ ; si elle est supérieure ou égale à $5$, c'est $10^{n+1}$. Ce seuil de $5$ est une convention d'arrondi, celle que tu utilises déjà pour arrondir un nombre à l'unité. Ainsi, l'ordre de grandeur de $4{,}73 \times 10^{4}$ est $10^{4}$, et celui de $8{,}1 \times 10^{6}$ est $10^{7}$. C'est ce qui permet de dire, sans calcul détaillé, que la population de la France est de l'ordre de $10^{8}$ habitants alors que celle d'un village est de l'ordre de $10^{3}$ : cent mille fois moins.

Comparer deux nombres en notation scientifique. On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant l'emporte, quelle que soit la mantisse. $1{,}2 \times 10^{7}$ est plus grand que $9{,}9 \times 10^{6}$. Ce n'est qu'à exposants égaux qu'on compare les mantisses.

Multiplier deux écritures scientifiques. On regroupe les mantisses d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre :

Puis — et c'est l'étape que tout le monde oublie — on vérifie que le produit $a \times b$ est bien compris entre $1$ et $10$. Si ce n'est pas le cas, le résultat n'est pas encore en notation scientifique et il faut réajuster :

Deux mantisses inférieures à $10$ peuvent donner un produit supérieur à $10$ : dans ce cas, l'exposant final vaut $p + q + 1$, et non $p + q$. Le réflexe : calculer les mantisses, puis regarder si le résultat dépasse $10$.

Énoncé. Écrire en notation scientifique : $A = 47\,300$, $B = 0{,}000\,52$, $C = 68 \times 10^{5}$. Puis calculer $D = \left(3 \times 10^{2}\right) \times \left(4 \times 10^{3}\right)$ et donner le résultat en notation scientifique.

$A = 47\,300$.

1. Le nombre est-il grand ou petit ? Il est supérieur à $10$ : l'exposant sera positif.

2. Placer la virgule après le premier chiffre non nul. Le premier chiffre non nul est le $4$. La mantisse est donc $4{,}73$ — les deux zéros finaux ne sont pas des chiffres significatifs ici, ils marquaient seulement le rang.

3. Compter les rangs franchis. De la position sous-entendue (après le dernier $0$) à sa nouvelle place, la virgule a reculé de $4$ rangs.

4. Écrire et vérifier.

Contrôle : $4{,}73 \times 10\,000 = 47\,300$. Correct.

$B = 0{,}000\,52$.

1. Le nombre est-il grand ou petit ? Il est inférieur à $1$ : l'exposant sera négatif.

2. Placer la virgule. Premier chiffre non nul : le $5$. Mantisse $5{,}2$.

3. Compter les rangs. La virgule a avancé de $4$ rangs vers la droite (elle a franchi trois zéros puis le $5$).

4. Écrire et vérifier.

Contrôle : $5{,}2 \div 10\,000 = 0{,}000\,52$. Correct.

$C = 68 \times 10^{5}$.

1. Repérer le problème. L'écriture contient déjà une puissance de $10$, mais la mantisse $68$ n'est pas comprise entre $1$ et $10$ : ce n'est pas la notation scientifique.

2. Corriger la mantisse. $68 = 6{,}8 \times 10$, c'est-à-dire $6{,}8 \times 10^{1}$.

3. Regrouper les puissances de 10.

4. Vérifier. $6{,}8$ est bien entre $1$ et $10$. Et en écriture décimale, $68 \times 100\,000 = 6\,800\,000 = 6{,}8 \times 10^{6}$. Correct.

$D = \left(3 \times 10^{2}\right) \times \left(4 \times 10^{3}\right)$.

1. Regrouper. Les mantisses entre elles, les puissances de $10$ entre elles :

2. Ne pas s'arrêter là. La mantisse $12$ n'est pas comprise entre $1$ et $10$ : le travail n'est pas fini.

3. Réajuster. $12 = 1{,}2 \times 10^{1}$, donc

4. Vérifier. $300 \times 4\,000 = 1\,200\,000$, soit $1{,}2 \times 10^{6}$. Correct.

Le moment décisif : l'exposant de $D$ vaut $6$, et non $5$. Additionner les exposants donne $5$ ; c'est le réajustement de la mantisse qui apporte l'unité manquante. Chaque fois que le produit des deux mantisses atteint ou dépasse $10$, l'exposant final gagne $1$.

Figure (fig.math.scientific-notation-comma, SVG programmatique à produire) : deux panneaux qui montrent le déplacement de la virgule et la compensation par l'exposant, plus un encadré sur le réajustement.

• Panneau supérieur — un grand nombre. Le nombre $47\,300$ écrit en gros, chiffre par chiffre, chaque chiffre dans sa case d'une grille horizontale. Une virgule mobile est dessinée deux fois : en gris clair à sa position initiale (à droite du dernier zéro) et en trait plein à sa position finale (entre le $4$ et le $7$). Une flèche courbe relie les deux positions, orientée vers la gauche, avec les rangs franchis numérotés $1$, $2$, $3$, $4$ sous les cases correspondantes. À droite, le résultat $4{,}73 \times 10^{4}$, l'exposant $4$ étant relié par un trait fin au compteur de rangs — pour rendre visible que c'est le même $4$.
• Panneau inférieur — un petit nombre. Même dispositif pour $0{,}000\,52$ : virgule initiale en gris après le $0$ des unités, virgule finale entre le $5$ et le $2$, flèche courbe orientée vers la droite, rangs numérotés $1$ à $4$. À droite, $5{,}2 \times 10^{-4}$, avec le signe moins de l'exposant relié au sens de la flèche par un trait fin et la mention « la virgule est allée vers la droite ».
• Une bande verticale à gauche des deux panneaux porte la règle, écrite une seule fois : « virgule vers la gauche $\Rightarrow$ exposant positif ; virgule vers la droite $\Rightarrow$ exposant négatif ».
• Encadré, en bas, séparé par un filet — le réajustement. Trois lignes alignées verticalement sur la virgule : $12 \times 10^{5}$ marqué d'une croix et de la mention « mantisse trop grande », puis $1{,}2 \times 10^{1} \times 10^{5}$, puis $1{,}2 \times 10^{6}$ encadré. Une accolade souligne le passage de l'exposant $5$ à l'exposant $6$, annotée « $+1$ vient de la mantisse ».
• Un ruban de contrôle en tout bas rappelle la condition, avec une droite graduée de $0$ à $12$ : la zone allant de $1$ inclus à $10$ exclu est tramée et étiquetée « mantisse valide », le point $12$ est hors zone et barré, le point $0{,}473$ est hors zone et barré aussi.

Ce qu'il faut lire. Le nombre de rangs franchis par la virgule et la valeur de l'exposant sont le même nombre : c'est ce que dit le trait fin qui les relie. Le sens de la flèche, et lui seul, donne le signe. Et le ruban du bas rappelle que la mantisse doit atterrir entre $1$ inclus et $10$ exclu : $12$ est trop grand, $0{,}473$ trop petit — ni l'un ni l'autre n'est une notation scientifique, même si le nombre représenté est juste.

La figure en détail : deux panneaux superposés. Dans le panneau du haut, le nombre quarante-sept mille trois cents est écrit chiffre par chiffre dans une grille ; une virgule grise à droite du dernier zéro et une virgule pleine entre le quatre et le sept sont reliées par une flèche courbe orientée vers la gauche, au-dessus de quatre rangs numérotés de un à quatre ; à droite figure l'écriture quatre virgule soixante-treize fois dix puissance quatre, son exposant relié par un trait au compteur de rangs. Dans le panneau du bas, le même dispositif pour zéro virgule zéro zéro zéro cinquante-deux, avec une flèche orientée vers la droite et l'écriture cinq virgule deux fois dix puissance moins quatre, le signe moins étant relié au sens de la flèche. Une bande verticale à gauche énonce la règle : virgule vers la gauche, exposant positif ; virgule vers la droite, exposant négatif. En bas, un encadré montre en trois lignes le passage de douze fois dix puissance cinq à un virgule deux fois dix puissance six, avec une accolade indiquant que l'unité ajoutée à l'exposant vient de la mantisse. Un ruban final présente une droite graduée où seule la zone allant de un inclus à dix exclu est tramée et étiquetée mantisse valide.

Domaine de validité. La condition $1 \leq a < 10$ est stricte à droite : $10 \times 10^{3}$ n'est pas une notation scientifique, $1 \times 10^{4}$ l'est. La notation scientifique ne s'applique pas au nombre $0$, qui n'a pas de mantisse comprise entre $1$ et $10$. Pour un nombre négatif, on écrit le signe devant : $-4{,}73 \times 10^{4}$ ; la mantisse, elle, reste comprise entre $1$ et $10$ en valeur absolue.

Unités. L'unité se place après toute l'écriture, jamais entre la mantisse et la puissance : on écrit $3{,}00 \times 10^{8}$ m/s, et non $3{,}00$ m/s $\times\ 10^{8}$. Les préfixes du Système international sont exactement des puissances de $10$ : $1$ km $= 10^{3}$ m, $1$ mm $= 10^{-3}$ m, $1$ µm $= 10^{-6}$ m.

Chiffres significatifs. Le nombre de chiffres de la mantisse est le nombre de chiffres significatifs de la mesure. $3{,}00 \times 10^{8}$ m/s en annonce trois : les deux zéros sont significatifs, ils ne sont pas décoratifs. N'ajoute jamais de chiffres que tu n'as pas, et n'en retire pas non plus.

1. Croire que $12 \times 10^{3}$ est une notation scientifique. L'écriture est numériquement juste ($12\,000$), mais la mantisse doit être comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu. Il faut écrire $1{,}2 \times 10^{4}$. C'est l'erreur la plus fréquente, précisément parce que le nombre représenté est le bon : seule la forme est fausse.
2. La même erreur dans l'autre sens : $0{,}473 \times 10^{4}$. La mantisse est ici trop petite : elle doit valoir au moins $1$. L'écriture correcte est $4{,}73 \times 10^{3}$. Une mantisse qui commence par $0$ n'est jamais une notation scientifique.
3. Décaler la virgule dans le mauvais sens quand l'exposant est négatif. Écrire $0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{4}$ inverse tout : $5{,}2 \times 10^{4} = 52\,000$, soit cent millions de fois trop grand. Le contrôle prend une seconde : un nombre plus petit que $1$ a forcément un exposant négatif.
4. Se tromper d'une unité en comptant les rangs. Entre $4{,}73 \times 10^{3}$ et $4{,}73 \times 10^{4}$, il y a un facteur $10$. Compte les rangs en les numérotant sous les chiffres, puis redéplie ton écriture pour vérifier que tu retombes sur le nombre de départ.
5. Oublier de rajuster l'exposant après un produit. $\left(3 \times 10^{2}\right) \times \left(4 \times 10^{3}\right)$ donne $12 \times 10^{5}$, qu'il faut encore transformer en $1{,}2 \times 10^{6}$. L'exposant final est $p + q + 1$, pas $p + q$, dès que le produit des mantisses atteint $10$. Prends l'habitude de te demander : « ma mantisse est-elle encore entre $1$ et $10$ ? »
6. Comparer les mantisses avant les exposants. $9{,}9 \times 10^{6}$ est plus petit que $1{,}2 \times 10^{7}$, bien que $9{,}9 > 1{,}2$. C'est l'exposant qui décide en premier.
7. Confondre notation scientifique et ordre de grandeur. La notation scientifique est une écriture exacte du nombre ; l'ordre de grandeur en est une approximation, obtenue en arrondissant la mantisse. $4{,}73 \times 10^{4}$ est exact ; son ordre de grandeur est $10^{4}$.
8. Mettre une virgule ou un point comme séparateur de milliers. En France, la virgule sépare la partie entière de la partie décimale, et rien d'autre. Les tranches de trois chiffres se séparent par une espace : $47\,300$.

À quoi t'attendre. L'exercice est un QCM à quatre options : « quelle est l'écriture scientifique de $N$ ? ». Les trois mauvaises options ne sont pas tirées au hasard, elles sont calculées depuis $N$ et reprennent une à une les erreurs classiques : une mantisse supérieure ou égale à $10$ (numériquement égale à $N$, mais de forme fausse), un exposant de signe inversé, et un exposant décalé de $1$. Un exercice voisin demande directement la valeur de l'exposant, d'un nombre ou d'un produit de deux écritures scientifiques.

Énoncé type. Quelle est l'écriture scientifique du nombre $47\,300$ ?

a. $4{,}73 \times 10^{3}$ — b. $47{,}3 \times 10^{3}$ — c. $4{,}73 \times 10^{4}$ — d. $4{,}73 \times 10^{-4}$

Corrigé complet.

1. Trouver la réponse avant de lire les options. C'est la seule méthode sûre : un QCM se résout d'abord au brouillon. Le nombre est supérieur à $10$, donc l'exposant sera positif. La mantisse est $4{,}73$. La virgule recule de $4$ rangs. Donc $47\,300 = 4{,}73 \times 10^{4}$.

2. Vérifier en redépliant. $4{,}73 \times 10\,000 = 47\,300$. C'est bien le nombre de départ.

3. Identifier la bonne option. C'est la c.

4. Comprendre pourquoi les autres sont fausses — c'est là qu'on apprend quelque chose.

• b. $47{,}3 \times 10^{3}$ : numériquement juste ($47{,}3 \times 1\,000 = 47\,300$), mais la mantisse $47{,}3$ n'est pas comprise entre $1$ et $10$. La forme est fausse, donc l'option est fausse.
• a. $4{,}73 \times 10^{3}$ : l'exposant est décalé d'une unité. Cette écriture vaut $4\,730$, soit dix fois trop peu. Erreur de comptage des rangs.
• d. $4{,}73 \times 10^{-4}$ : le signe de l'exposant est inversé. Cette écriture vaut $0{,}000\,473$, un nombre plus petit que $1$ — incompatible avec un nombre de cinq chiffres.

Auto-contrôle : pose-toi deux questions dans cet ordre. La mantisse est-elle comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu ? Et en redépliant l'écriture, est-ce que je retombe exactement sur le nombre de départ ? Une option qui échoue à l'une des deux est éliminée, même si l'autre est satisfaite.