Sens de la fraction : partager, diviser, prendre une part

Dans les fractions de cette leçon, le numérateur est un entier naturel et le dénominateur un entier strictement positif. Une tablette de chocolat est partagée en $4$ carrés égaux. Tu en manges $3$. Combien de tablette as-tu mangé ?

Pas un nombre entier : plus de la moitié, moins d'une tablette entière. Il te manque un nombre pour dire cela. Ce nombre s'écrit

et il se lit « trois quarts ».

Dans l'écriture $\dfrac{3}{4}$, le nombre du bas s'appelle le dénominateur : il dit en combien de parts égales on a partagé. Le nombre du haut s'appelle le numérateur : il dit combien de ces parts on prend.

Retiens l’ordre de lecture : on regarde d'abord le bas, parce qu'il faut savoir de quelles parts on parle avant de savoir combien on en prend.

Le mot important est « égales ». Si tu casses la tablette n'importe comment, tes morceaux ne sont pas des quarts. Un quart, c'est une part parmi quatre parts de même taille.

Cette même écriture $\dfrac{3}{4}$ sert dans trois situations différentes. Ce sont les trois sens de la fraction, et ils décrivent le même nombre.

Premier sens : le partage. Tu prends $3$ parts sur les $4$ d'un objet partagé en parts égales. C'est l'histoire de la tablette. Ici, la fraction décrit une part d'un tout.

Deuxième sens : le quotient. Trois pizzas sont partagées équitablement entre quatre amis. Chacun reçoit $3 \div 4$ de pizza. Le quotient n’est pas entier, mais possède ici une écriture décimale exacte : son résultat, c'est justement $\dfrac{3}{4}$.

Une fraction est le résultat exact d'une division : $\dfrac{3}{4}$ signifie $3 \div 4$, et $\dfrac{a}{b}$ signifie $a \div b$.

C'est le sens le plus utile, parce qu'il fonctionne même quand la division ne tombe pas juste. Le trait de fraction est un signe de division, tout simplement écrit autrement.

Troisième sens : la part d'une quantité. Une classe compte $28$ élèves, et les $\dfrac{3}{4}$ des élèves sont demi-pensionnaires. Combien cela fait-il d'élèves ? Ici, la fraction ne décrit pas un objet : elle agit sur un nombre. On partage $28$ en $4$ parts égales, ce qui donne $7$, puis on en prend $3$, ce qui donne $21$ élèves.

Le point qui trompe le plus. Dans ce troisième sens, il y a deux nombres bien distincts, et il ne faut pas les confondre.

Ici, le premier est plus petit que $1$, parce qu'on prend une part d'un tout. Le second dépend de la classe. Quand une question demande un nombre d'élèves, la réponse est $21$, jamais $\dfrac{3}{4}$.

Une même part, plusieurs écritures. Coupe chacun des $4$ carrés de la tablette en deux. Tu as maintenant $8$ morceaux au lieu de $4$, et tes $3$ carrés sont devenus $6$ morceaux. Tu n’as pourtant ni mangé ni rendu de chocolat.

C'est la règle des fractions égales, et elle se comprend sans effort avec cette image : découper chaque part en $2$ multiplie par $2$ le nombre total de parts et le nombre de parts prises.

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant — ou en divisant — le numérateur et le dénominateur par un même nombre, différent de zéro. Pour conserver des numérateurs et dénominateurs entiers naturels, on multiplie ici par un entier strictement positif, ou on divise par un diviseur commun strictement positif. L’identité algébrique est plus générale si l’on autorise d’autres écritures de quotients.

Dans l'autre sens, on simplifie : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$. Simplifier, c'est écrire la même part avec des nombres plus petits ; ce n'est pas la rendre plus petite.

Attention : la règle porte sur multiplier et diviser, pas sur ajouter. Enlever $1$ en haut et $1$ en bas de $\dfrac{6}{8}$ donnerait $\dfrac{5}{7}$, qui n'est pas la même part du tout — $\dfrac{6}{8}$ vaut $0{,}75$, alors que $\dfrac{5}{7}$ vaut environ $0{,}71$.

Comparer deux fractions, dans les deux cas simples de la 6e.

1. Même dénominateur : les parts ont la même taille, on compare le nombre de parts. $\dfrac{5}{7} > \dfrac{3}{7}$, comme $5$ pommes valent plus que $3$ pommes.
2. Même numérateur strictement positif : on prend le même nombre de parts, mais les parts n'ont pas la même taille. Et c'est ici que tout se retourne : plus le dénominateur est grand, plus chaque part est petite. Partage un gâteau entre $3$ personnes ou entre $4$ personnes : la part est plus grosse à $3$. Donc

Ce résultat surprend, parce que $3 < 4$. Souviens-toi que le dénominateur ne compte pas des parts prises : il compte des convives. Plus il y a de convives, moins chacun reçoit.

Comparer une fraction à $1$. C'est immédiat, et cela évite beaucoup d'erreurs.

Une fraction est un nombre : elle a une place sur la droite graduée. Pour placer $\dfrac{3}{4}$, on partage l'intervalle qui va de $0$ à $1$ en $4$ intervalles égaux, puis on compte $3$ graduations à partir de $0$. Pour placer $\dfrac{5}{4}$, on continue au-delà de $1$ : on compte $5$ graduations, ce qui tombe entre $1$ et $2$.

C'est la meilleure façon de se convaincre qu'une fraction n'est pas « deux nombres l'un sur l'autre », mais un seul nombre, avec une place et une seule.

Fraction et écriture décimale. Certaines fractions ont une écriture à virgule qui s'arrête :

D'autres non : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais. La fraction $\dfrac{1}{3}$ reste alors l'écriture exacte, et $0{,}33$ n'en est qu'une valeur approchée. La distinction entre quotient décimal et non décimal aide à interpréter une division : garde une fraction exacte lorsque l’écriture décimale ne se termine pas.

Le périmètre de cette leçon. Elle se concentre sur les sens de la fraction, les écritures égales, les comparaisons et la fraction d’une quantité. Les opérations sur les fractions sont abordées dans d’autres étapes du parcours ; elles ne sont pas déclarées interdites en sixième.

Énoncé. Une association reçoit $84$ cartons de livres. Elle en trie les $\frac57$. Parmi les cartons déjà triés, elle en remet $\frac14$ à une bibliothèque locale. Combien de cartons triés restent prêts à être expédiés ailleurs ? Combien de cartons restent encore à trier ?

Première étape : identifier le tout. Pour les $\frac57$, le tout est constitué des $84$ cartons reçus. Un septième vaut $84\div7=12$ cartons. Cinq septièmes valent donc

Il reste $84-60=24$ cartons à trier.

Deuxième étape : le tout a changé. Le quart remis à la bibliothèque porte sur les 60 cartons triés, pas sur les $84$ reçus :

Les cartons triés encore prêts à partir sont donc au nombre de $60-15=45$.

Vérifier le bilan. Les $15$ cartons déjà remis, les $45$ triés encore disponibles et les $24$ non triés reconstituent les $84$ cartons :

La réponse demandée est 45 cartons prêts à expédier, et 24 cartons encore à trier. Chaque fraction doit être reliée au tout qu’elle partage ; appliquer le quart au stock initial répondrait à une autre question.

Figure (fig.math.fraction-three-meanings, SVG programmatique existant) : trois panneaux côte à côte, tous consacrés au même nombre $\dfrac{3}{4}$, puis une bande commune en bas.

• Panneau 1 — le partage. Une barre rectangulaire horizontale découpée en $4$ parts strictement égales par trois traits verticaux. Les $3$ parts de gauche sont hachurées, la quatrième est laissée vide. Sous la barre, l'accolade des trois parts hachurées porte l'étiquette $\dfrac{3}{4}$. Deux légendes : sous la barre entière, « $4$ parts égales : c'est le dénominateur » ; sous les parts hachurées, « $3$ parts prises : c'est le numérateur ». À côté du panneau, un encart barré montre la même barre découpée en quatre morceaux de tailles visiblement différentes, avec la mention « parts inégales : ce ne sont pas des quarts ».
• Panneau 2 — le quotient. Trois disques identiques, représentant trois pizzas, au-dessus de quatre silhouettes de convives. Chaque disque est coupé en $4$ quarts. Les douze quarts sont reliés aux quatre convives par des traits fins, trois quarts par convive, chaque convive recevant une texture distincte. Au centre, l'égalité $3 \div 4 = \dfrac{3}{4}$, encadrée. Légende : « la fraction est le résultat exact d'une division ».
• Panneau 3 — la part d'une quantité. Une bande représentant $28$ élèves, découpée en $4$ blocs de $7$ jetons. Les trois premiers blocs sont hachurés. Deux étiquettes empilées et clairement séparées : « le nombre $\dfrac{3}{4}$, entre $0$ et $1$ » d'une part, « les $\dfrac{3}{4}$ des $28$ élèves : $21$ élèves » d'autre part, cette seconde étiquette étant reliée par une flèche aux blocs hachurés.
• Bande commune en bas — la droite graduée. Une droite allant de $0$ à $2$, portant les entiers $0$, $1$ et $2$ en graduations longues, et les quarts en graduations courtes. Les points $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{4}$ sont marqués et nommés, le second étant visiblement à droite de $1$. Sous le point $\dfrac{3}{4}$, la mention « $= 0{,}75$ » ; sous $\dfrac{5}{4}$, la mention « $= 1{,}25$ ». Une flèche courbe relie chacun des trois panneaux au point $\dfrac{3}{4}$ de la droite, avec la légende « trois histoires, un seul nombre, une seule place ».

Ce qu'il faut lire. Les trois panneaux racontent des situations sans rapport — du chocolat, des pizzas, une classe — et pourtant les trois flèches arrivent au même point de la droite graduée. C'est cela, comprendre la fraction : voir que ces trois histoires parlent d'un unique nombre. Et la bande du bas ajoute l'essentiel : ce nombre a une place, donc il peut être comparé à $1$, à $0{,}75$, à n'importe quel autre nombre.

La figure en détail : trois panneaux consacrés au nombre trois quarts. Le premier montre une barre coupée en quatre parts égales dont trois sont hachurées, avec un encart barré montrant des parts inégales. Le deuxième montre trois pizzas coupées en quarts et partagées entre quatre convives, chacun recevant trois quarts, avec l'égalité 3 divisé par 4 égale trois quarts. Le troisième montre 28 élèves rangés en quatre blocs de sept, trois blocs hachurés, et distingue le nombre trois quarts, compris entre 0 et 1, de la quantité qu'il désigne, 21 élèves. En bas, une droite graduée de 0 à 2 découpée en quarts, où sont placés trois quarts, égal à 0,75, et cinq quarts, égal à 1,25 et situé après 1. Trois flèches relient les trois panneaux au même point trois quarts.